数论集合

零，前言：
学chty_sqy开个数论集合

学OI的时候一看数论就头大，现在该还了 T_T

建议推导和证明不熟或不会的同学动手推导

而且公式看上去不太清楚，学习的同学请仔细阅读

以前数论怎么都学不会，主要还是浮躁，不仔细看，没有动手 orz

一，gcd（欧几里得算法）：

两个数a和b的最大公因数被称为gcd(a, b)

求gcd通常用欧几里得算法

原理：gcd(a, b)=gcd(b, a%b)

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html

代码：

int gcd(int a,int b){  return b ? gcd(b,a%b) : a;}

二，exgcd（扩展欧几里得算法）：

数论守门员

有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。

扩展欧几里得算法研究的是形如 a*x+b*y=c 的丢番图方程的解

方程有解当且仅当gcd(a, b)|c

原理：a*x1+b*y1=gcd(a, b)，b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b)，gcd(a, b)=gcd(b, a%b)  =>  x1=y2，y1=(x2-⌊a/b⌋*y2)

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html

代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y,y=(z-a/b*y);
}

例题：

洛谷4549 裴蜀定理

洛谷1516 青蛙的约会 

洛谷3951 小凯的疑惑

洛谷1082 同余方程

三，中国剩余定理（crt）：

今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何？

一次同余方程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1，2，…，k)的同余方程构成的组

中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组，其中m1,m2,...,mk互质

原理：构造一个解x=∑ai*M/mi*ti，其中ti为同余方程M/mi*ti≡1(mod mi)的最小正整数解，ti可用exgcd求出

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11373544.html

代码：

（其中LL是long long，qcm是快速乘）

LL crt(){
    LL bwl=0;
    for(int i=1;i<=k;++i){
        LL x,y;
        exgcd(M/m[i],m[i],x,y);
        if(x<0)  x=x%m[i]+m[i];
        bwl=(bwl+qcm(qcm(a[i],M/m[i]),x))%M;
    }
    return (bwl+M)%M;
}

例题：

洛谷3868 猜数字

四，扩展中国剩余定理（excrt）：

扩展中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组，其中m1,m2,...,mn不一定互质

原理：由前k-1个方程组成的方程组的通解x+t*M，令x+t*M≡ak(mod mk)构造出前k个方程的解，t可用exgcd求出

若x+t*M≡ak(mod mk)无解，则整个同余方程组无解

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11373544.html

代码：

（其中LL是long long，qcm是快速乘，三个参数分别为两个乘数和模数）

LL excrt(){
    LL M=m[1],ans=a[1];
    for(int i=2;i<=k;++i){
        LL x,y;
        LL d=gcd(M,m[i]);
        LL c=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
        if(c%d)  return -1;
        exgcd(M,m[i],x,y);
        x=qcm(x,c/d,m[i]/d);
        ans+=qcm(x,M,M*m[i]);
        M*=m[i]/d;
        ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return ans;
}

例题：
洛谷4777 扩展中国剩余定理