数论集合

零，前言：
学chty_sqy开个数论集合

学OI的时候一看数论就头大，现在该还了 T_T

建议推导和证明不熟或不会的同学动手推导

而且公式看上去不太清楚，学习的同学请仔细阅读

以前数论怎么都学不会，主要还是浮躁，不仔细看，没有动手 orz

一，gcd（欧几里得算法）：

两个数a和b的最大公因数被称为gcd(a, b)

求gcd通常用欧几里得算法

原理：gcd(a, b)=gcd(b, a%b)

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html

代码：

1 int gcd(int a,int b){  return b ? gcd(b,a%b) : a;}

一行gcd

二，exgcd（扩展欧几里得算法）：

数论守门员

有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。

扩展欧几里得算法研究的是形如 a*x+b*y=c 的丢番图方程的解

方程有解当且仅当gcd(a, b)|c

原理：a*x1+b*y1=gcd(a, b)，b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b)，gcd(a, b)=gcd(b, a%b) => x1=y2，y1=(x2-⌊a/b⌋*y2)

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html

代码：

1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
2     if(!b){
3         x=1,y=0;
4         return ;
5     }
6     exgcd(b,a%b,x,y);
7     int z=x;
8     x=y,y=(z-a/b*y);
9 }

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例题：

洛谷4549 裴蜀定理

洛谷1516 青蛙的约会

洛谷3951 小凯的疑惑

洛谷1082 同余方程

三，中国剩余定理（crt）：

今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何？

一次同余方程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1，2，…，k)的同余方程构成的组

中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组，其中m1,m2,...,mk互质

原理：构造一个解x=∑ai*M/mi*ti，其中ti为同余方程M/mi*ti≡1(mod mi)的最小正整数解，ti可用exgcd求出

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11373544.html

代码：

（其中LL是long long，qcm是快速乘）

 1 LL crt(){
 2     LL bwl=0;
 3     for(int i=1;i<=k;++i){
 4         LL x,y;
 5         exgcd(M/m[i],m[i],x,y);
 6         if(x<0)  x=x%m[i]+m[i];
 7         bwl=(bwl+qcm(qcm(a[i],M/m[i]),x))%M;
 8     }
 9     return (bwl+M)%M;
10 }

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例题：

洛谷3868 猜数字

四，扩展中国剩余定理（excrt）：

扩展中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组，其中m1,m2,...,mn不一定互质

原理：由前k-1个方程组成的方程组的通解x+t*M，令x+t*M≡ak(mod mk)构造出前k个方程的解，t可用exgcd求出

若x+t*M≡ak(mod mk)无解，则整个同余方程组无解

详情：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11373544.html

代码：

（其中LL是long long，qcm是快速乘，三个参数分别为两个乘数和模数）

 1 LL excrt(){
 2     LL M=m[1],ans=a[1];
 3     for(int i=2;i<=k;++i){
 4         LL x,y;
 5         LL d=gcd(M,m[i]);
 6         LL c=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];
 7         if(c%d)  return -1;
 8         exgcd(M,m[i],x,y);
 9         x=qcm(x,c/d,m[i]/d);
10         ans+=qcm(x,M,M*m[i]);
11         M*=m[i]/d;
12         ans=(ans%M+M)%M;
13     }
14     return ans;
15 }

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例题：
洛谷4777 扩展中国剩余定理

原文地址：https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11370008.html