bzoj1925 [Sdoi2010]地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。  地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。  如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。  类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。   地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。  地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。  地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。  现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。   

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。 

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

设f[i]表示1到i满足任意相邻3项不单调且前两项递增的排列数，边界条件f[0]=f[1]=1

由于对称性，前/末两项递增/减的方案数相同

考虑转移，枚举i+1放置的位置，若i+1前有j个数，i+1后有i-j个数，则1到i分到i+1两侧方案数为C(i,j)

左侧j个数排列方式有f[j]种，右侧i-j个数排列方式有i-j种

于是有

f[i+1]=(1/2)*Σ f[j]*f[n-j]*C(i,j)  ， j=1..i ，i>1

ans[i]=2*f[i](i>1)

ans[1]=1

由于p不一定是奇数，要预处理C(k,2k)/2 mod p

#include<cstdio>
int n,p;
inline void inc(int&a,int b){
    a+=b;
    if(a>=p)a-=p;
}
int c[4210];
int f[4210]={1,1};
int c2[4210];
int ps[4210],isnp[4210]={1,1},t[4210],pp=0,mp[4210]={1,1};
inline int power(int a,int n){
    int v=1;
    for(;n;n>>=1){
        if(n&1)v=v*1ll*a%p;
        a=a*1ll*a%p;
    }
    return v;
}
inline void mul(int x,int a){
    while(x>1){
        t[mp[x]]+=a;
        x/=mp[x];
    }
}
int cal(){
    int v=1;
    for(int i=0;i<pp;i++){
        if(t[ps[i]])v=v*1ll*power(ps[i],t[ps[i]])%p;
    }
    return v;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&p);
    if(n==1){
        printf("%d",1%p);
        return 0;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!isnp[i])mp[i]=ps[pp++]=i;
        for(int j=0;j<pp&&i*ps[j]<=n;j++){
            isnp[i*ps[j]]=1;
            if(i%ps[j]){
                mp[i*ps[j]]=ps[j];
            }else{
                mp[i*ps[j]]=mp[i];
                break;
            }
        }
    }
    mul(2,-1);
    for(int i=2;i<=n;i+=2){
        mul(i,1);
        mul(i-1,1);
        mul(i>>1,-2);
        c2[i]=cal();
    }
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=n;j;j--)inc(c[j],c[j-1]);
        for(int j=0;j<i+1>>1;j++){
            inc(f[i+1],1ll*f[j]*f[i-j]%p*c[j]%p);
        }
        if(i+1&1){
            inc(f[i+1],1ll*c2[i]*f[i>>1]%p*f[i>>1]%p);
        }
    }
    printf("%d",f[n]*2%p);
    return 0;
}