矩阵快速幂

这里先引入一个快速幂

　　正常我们计算 x^22次方的话，要怎么去计算，暴力的话平方22次，这里想一个简单的方法，x^22要怎么计算出来， x^22 = x^16 * x^4 * x^2，折几个数怎么来的呢 ？ 将22转换为 2进制的数 10110 ，正好不就是2^4 = 16,  2^2 = 4,  2^1 = 2 ;

快速幂取模

#define ll long long

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod){
    ll res = 1;
    
    while(n > 0){
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >> 1;
    }
    
    return res;
}

矩阵快速幂

1 . 矩阵的定义

　　用一个结构体去定义矩阵

　　

struct mat
{
    int a[2][2];
};

2 . 矩阵相乘

　　学过线代这个就很容易了么，用A矩阵的每一行去乘以B矩阵的每一列，得到一个新的元素。

代码 ：

struct mat
{
    int a[2][2];
};

mat mul(mat a, mat b){ // 以2介矩阵为例
    mat r;
    
　　memset(r.a, 0, sizeof(r.a)); // 很重要的一点！！！
    for(int i = 0; i < 2; i++){
        for(int j = 0; j < 2; j++){
            for(int k = 0; k < 2; k++){
                r.a[i][j] += (a.a[i][k]*b.a[k][j]) % mod;
                r.a[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return r;
}
// 矩阵相乘的优化，因为矩阵可能会有很多0
mat mul(mat a, mat b){
    mat r;
    memset(r.a, 0, sizeof(r.a));
    
    for(int i = 0; i < 2; i++){
        for(int k = 0; k < 2; k++){
            if (a.a[i][k]){
                for(int j = 0; j < 2; j++){
                    if (b.a[k][j]){
                        r.a[i][j] += (a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
                        r.a[i][j] %= mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    return r;
}

3 . 矩阵快速幂

mat pow(mat A){
    mat B;  // 定义出一个单位矩阵
    
    for(int i = 0; i < 2; i++){  //初始化
        for(int j = 0; j < 2; j++){
            if (i == j) B.a[i][j] = 1;
            else B.a[i][j] = 0;
        }
    }
    
    while(n){
        if (n & 1) B = mul(A, B);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;    // 这里不要写成 >=
    }
    
    return B;
}

经典的应用 ， Fibonacci 数列

难点的地方就是在于构造矩阵