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Problem 1015 土地划分Accept: 714 Submit: 1675
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Problem Description
在Dukeswood这块土地上生活着一个富有的农庄主和他的几个孩子。在他临终时，他想把他的土地分给他的孩子。他有许多农场，每个农场都是一块矩形土地。他在农场地图上划上一些直线将矩形分成若干块。当他划直线时，他总是从矩形边界上的某一点划到另一个矩形边界上的点，这条线的结束点将成为下一条线的起始点。他划线时从不会让任三线共点。例如图1是某一种划分结果。
图1
划分的起始点和结束点均以五角星标记。当他完成划分后，他想要数一下划出的土地的块数以确保每个孩子都有一块地。例如，图1中土地被划分成18块。然而这个庄主由于年迈常会数错，因而他寻求你的帮助。
请写一个程序，输入原来的土地尺寸及线段的位置，输出划分出的土地块数。
Input
输入文件有多组数据组成。每组数据格式如下：
第一行输入地图的宽度w (1<=w<=1000)和高度 h (1<=h<=1000)，均为整数。
第二行输入线段数L (1<=L<=50)。
以下L+1行每行一个整数坐标(Xi,Yi)，庄主划的线段为(Xi,Yi)-(Xi+1,Yi+1)，i=1,2,…,L。当然(Xi,Yi)必定在矩形的边界上。
最后一组数据w=h=0，标志文件结束，不需要处理。
第一行输入地图的宽度w (1<=w<=1000)和高度 h (1<=h<=1000)，均为整数。
第二行输入线段数L (1<=L<=50)。
以下L+1行每行一个整数坐标(Xi,Yi)，庄主划的线段为(Xi,Yi)-(Xi+1,Yi+1)，i=1,2,…,L。当然(Xi,Yi)必定在矩形的边界上。
最后一组数据w=h=0，标志文件结束，不需要处理。
Output
对于给定的输入，输出一行仅含一个数，即划分出的土地块数。
Sample Input
18 12
8
2 0
6 12
10 0
18 9
15 12
0 6
14 0
10 12
0 9
7 6
6
2 0
5 6
7 3
0 3
3 0
3 6
0 5
0 0
Sample Output
18
11
/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。/。
看到此题，可联想到组合几何中的一个问题，求平面上n条直线最多可以将平面分成多少块
首先分析直线划分区域的情况，根据已知的结论：平面上的n条直线最多可以将平面分成 f ( n )个区域，其中 f(n)=(n^2+n+2)/2.
实际上，重点是讨论如何得出这个结论的过程
方法————数学归纳法
当n=1时，f(1)=(1^2+1+2)/2=2显然成立，即一条直线把平面分成两个区域。
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假设，对所有的n<k的n，均有f(n)=(n^2+n+2)/2。考虑ｎ=k
新的直线L做多可以和原来的n-1条直线有n-1个交点，这n-1个交点将直线分成了n段，其中
ｎ－２段为线段，两段为射线。这ｎ段线将其所在的ｎ个区域一分为二，这样就增加了ｎ个
区域，所以f(n)=f(n-1)+n。再由归纳假设，f(n-1)=((n-1)^2+(n-1)+2)/2，因而有：
f(n)=((n-1)^2+(n-1)+2)/2+n=(n^2+n+2)/2
因此，对所有的正整数ｎ，均有f(n)=(n^2+n+2)/2
-----------------------------------------------------------------------------------
具体推导过程看这里吧：http://wenku.baidu.com/view/15733b0b79563c1ec5da71cf.html
经过推导，可以得出结论，f(L)=1+T+L
就是不在矩形边上的交点个数T+线段的条数L+1即为答案
下面给出代码：
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <stdlib.h> 4 #include <math.h> 5 #include <iostream> 6 #include <algorithm> 7 #define eps 1e-6 8 9 struct point 10 { 11 double x,y; 12 }; 13 14 struct beline 15 { 16 point a,b; 17 }; 18 19 using namespace std; 20 21 point p[5000]; 22 23 bool dy(double x,double y) 24 { 25 return x > y+eps; 26 } 27 bool xy(double x,double y) 28 { 29 return x < y-eps; 30 } 31 bool xyd(double x,double y) 32 { 33 return x < y+eps; 34 } 35 bool dyd(double x,double y) 36 { 37 return x > y-eps; 38 } 39 double dd(double x,double y) 40 { 41 return fabs(x-y) < eps; 42 } 43 44 double crossProduct(point a,point b,point c) 45 { 46 return (c.x-a.x)*(b.y-a.y)-(c.y-a.y)*(b.x-a.x); 47 } 48 49 bool onSegment(point a,point b,point c) 50 { 51 double maxx=max(a.x,b.x); 52 double maxy=max(a.y,b.y); 53 double minx=min(a.x,b.x); 54 double miny=min(a.y,b.y); 55 if(dd(crossProduct(a,b,c),0.0)&&dyd(c.x,minx)&&xyd(c.x,maxx) 56 &&dyd(c.y,miny)&&xyd(c.y,maxy)) 57 return true; 58 return false; 59 } 60 61 bool segIntersect(point p1,point p2,point p3,point p4) 62 { 63 double d1 = crossProduct(p3,p4,p1); 64 double d2 = crossProduct(p3,p4,p2); 65 double d3 = crossProduct(p1,p2,p3); 66 double d4 = crossProduct(p1,p2,p4); 67 if(xy(d1*d2,0.0)&&xy(d3*d4,0.0)) 68 return true; 69 if(dd(d1,0.0)&&onSegment(p3,p4,p1)) 70 return true; 71 if(dd(d2,0.0)&&onSegment(p3,p4,p2)) 72 return true; 73 if(dd(d3,0.0)&&onSegment(p1,p2,p3)) 74 return true; 75 if(dd(d4,0.0)&&onSegment(p1,p2,p4)) 76 return true; 77 return false; 78 } 79 80 point intersectpoint(beline u,beline v) 81 { 82 point ans=u.a; 83 double t = ((u.a.x-v.a.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-v.a.y)*(v.a.x-v.b.x))/ 84 ((u.a.x-u.b.x)*(v.a.y-v.b.y)-(u.a.y-u.b.y)*(v.a.x-v.b.x)); 85 ans.x+=(u.b.x-u.a.x)*t; 86 ans.y+=(u.b.y-u.a.y)*t; 87 return ans; 88 } 89 int main() 90 { 91 int n,m,i,j,k; 92 beline li[55]; 93 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n||m) 94 { 95 scanf("%d",&k); 96 for(i=0;i<=k;i++) 97 { 98 scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); 99 } 100 for(i=0;i<k;i++) 101 { 102 li[i].a.x=p[i].x; 103 li[i].a.y=p[i].y; 104 li[i].b.x=p[i+1].x; 105 li[i].b.y=p[i+1].y; 106 } 107 108 int sum=0; 109 for(i=0;i<k;i++) 110 { 111 for(j=i+1;j<k;j++) 112 { 113 if(segIntersect(li[i].a,li[i].b,li[j].a,li[j].b)) 114 { 115 point tmp; 116 tmp=intersectpoint(li[i],li[j]); 117 if(dy(tmp.x,0.0)&&xy(tmp.x,(double)n)&&dy(tmp.y,0.0)&&xy(tmp.y,(double)m)) 118 { 119 sum++; 120 } 121 } 122 } 123 } 124 printf("%d ",sum+k+1); 125 } 126 return 0; 127 }