欧拉定理

欧拉定理

若 (gcd(a,m)=1),则

[a^{phi(m)} equiv 1 pmod m ]

(phi(m),m>1)表示(le m)的数中与(m)互质的正整数的个数

证明

设与(m)互质的数为(b_1,b_2,...,b_{phi(m)})

(ecause gcd(a,m)=1)

( herefore ab_1,ab_2,...,ab_{phi(m)})都与(m)互质，且均不相同

( herefore { b})中，每个数都与({ab})中的一个数同余，且一一对应。

( herefore a^{phi(m)}prod_{i=1}^{phi(m)}b_i equiv prod_{i=1}^{phi(m)}ab_iequiv prod_{i=1}^{phi(m)} b_i pmod m)

( herefore m|a^{phi(m)}prod_{i=1}^{phi(m)}b_i-prod_{i=1}^{phi(m)}b_i)

即(m|(a^{phi(m)}-1 prod_{i=1}^{phi(m)}b_i)

又(ecause gcd(m,prod_{i=1}^{phi(m)}b_i)=1)

( herefore m|a^{phi(m)}-1)

即有(a^{phi(m)}equiv 1pmod m)

费马小定理

当(p)为质数,则

[a^{p-1}equiv 1 pmod m ]

(ecause ext{此时},phi(p)=p-1)

可见，费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况

扩展欧拉定理

即(gcd(a,m) e 1)时

先看(gcd(a,m)=1)

[a^c equiv a^{c mod phi(m)} pmod m ]

...

当(gcd(a,m) e 1,c<phi(m))时

[a^c equiv a^{c}mod m ]

无需证明

当(gcd(a,m) e 1,c ge phi(m))时，

[a^c equiv a^{c mod phi(m)+phi(m)}pmod m ]

证明

设(p)为(a)的质因子，令(m=s imes p^r,gcd(s,p)=1)

(p^{phi(s)} equiv 1 pmod m)

(ecause ext{s不含因子p})

( herefore phi(s)|phi(m))

( herefore p^{phi(m)} equiv 1 pmod s)

( o p^{k phi(m)}equiv 1 pmod s)

$ o p^{k phi(m)+r}equiv p^r pmod {s imes p^r} $

$ o p^{k phi(m)+r+c}equiv p^{r+c} pmod m $

(ecause k,c in mathbb{N}^+)

( herefore ext{上述可表述为：若}c ge r, ext{则} p^c equiv p^{k phi(m)+c} pmod m)

设(a)中含有因子(p^k,c ge phi(m) ge r)

[(p^k)^c equiv q^{kc} equiv p^{k phi(m)+c} equiv (p^k)^{phi(m)+c} equiv (p^k)^{t phi(m)+c} pmod m,t in mathbb{N^+} ]

[ o (p^k)^c equiv (p^k)^{c mod phi(m)+phi(m)}, ext{保证指数}ge phi(m) ]

(a)的每个因子满足上式

根据同余的性质 则(a^c equiv a^{c mod phi(m)+phi(m) pmod m})

于是

[a^b =egin{cases} a^b,b<phi(p)\a^{b mod phi(p) + phi(p)},b ge phi(p) end{cases} ]

练习题就是上一篇的两道题

Code

略
=====这是华丽的分割线
( ext{心上的伤，只有自己最疼;难言的痛,只有自己最懂.其实，很多心事,不必说给每个人听})