Luogu P5091 欧拉定理&&CF17D Notepad

P5091

题意

链接
求(a^b mod p),(b le 10^{20000000})

Idea

这是个模板题，
使用扩展欧拉定理

[a^b =egin{cases} a^b,b<phi(p)\a^{b mod phi(p) + phi(p)},b ge phi(p) end{cases} ]

上面的操作又称欧拉降幂

证明

见下篇

Code

int phi[maxn],prime[maxn],f[maxn];
char s[20000010];
inline int power(int a,int b,int p){
	int ans=1%p;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;
}
inline void init(int x){
	int t=0;
	phi[1]=1;
	for(int i=1;i<=x;i++){
		if(!phi[i]) phi[i]=i-1,prime[++t]=i;
		for(int j=1;j<=t&&i*prime[j]<=x;j++){
			if(!(i%prime[j])){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}
signed main(){
	int n=read(),p=read();
	init(p);
	scanf("%s",s+1);
	int len=strlen(s+1),d=0;
	int tmp=0; bool book=1;
	for(int i=1;i<=len;i++){
		d=(d*10+(s[i]-48))%phi[p];
		tmp=(tmp*10+(s[i]-48));
		if(tmp>phi[p]) book=0;
	}
	int ans=power(n,book?tmp:d+phi[p],p);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

CF17D Notepad

题意

Luogu的
CF的
有个本子，往本子上写全部长度为(n)的(b)进制数,每页可以写(c)个。
要求数字要求所有数字必须严格不含前导0。求最后一页上有多少个数字。

Idea

考虑第一位不能为0，只能有(b-1([1,b-1]))种填法
考虑后(n-1)位可以填([0,b-1])，则有(b^{n-1})种填法
则显然(ans=(b-1) imes b^{n-1} mod c)
若(ans=0) ，则答案为(p)，因为不用翻开下一页
如何求(ans)呢？
欧拉降幂即可。

Code

inline int power(int a,int b,int p){
	int ans=1%p;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;
}
inline int phi(int x){
	int t=x,tot=x;
	for(int i=2;i*i<=t;i++)
	if(!(x%i)){
		tot=tot/i*(i-1);
		while(!(x%i)) x/=i;
	}
	return x>1?tot/x*(x-1):tot;
}
char s1[maxn],s2[maxn];
int b[maxn],p;
signed main(){
	scanf("%s %s %d",s1+1,s2+1,&p);
	int len1=strlen(s1+1),len2=strlen(s2+1);
	int d1=0,d2=0,Phi=phi(p);
	for(int i=1;i<=len1;i++) d1=(d1*10+(s1[i]-48))%p;
	for(int i=1;i<=len2;i++) b[i]=s2[i]-48;
	b[len2]--;
	for(int i=len2;i;i--)
	if(b[i]<0) b[i]+=10,b[i-1]--;
	else break;
	int tmp=0; bool book=1;
	for(int i=1;i<=len2;i++){
		d2=(d2*10+b[i])%Phi;
		tmp=tmp*10+b[i];
		if(tmp>=Phi) book=0; 
	}
	int ans=(d1+p-1)%p*power(d1,book?tmp:d2+Phi,p)%p;
	printf("%d",!ans?p:ans);
	return 0;
}

( ext{浮生若梦,为欢几何,不如许一个安然无忧})