• 01背包和完全背包


    01背包要求是每个物品最多只能选择一次
    完全背包要求是每个物品可无限次选取

    01背包的状态方程为 f[i][j]=max(f[i-1][j-w(j)]+value[i],f[i-1][j]);

    完全背包的状态方程为f[i][j]=max(f[i-1][j-w(j)*c]+value[i]*c,f[i-1][j]);

    01背包二维存储 如f[i][j] i表示在前i个选 j表示总容量

    注意第4行循环是 0->w

    1 for i:=0 to w do
    2 f[0,i]:=0;
    3 for i:=1 to m do
    4 for j:=0 to w do begin
    5 f[i,j]:=f[i-1,j];
    6 if (j>=w) and (f[i-1,j-w]+v>f[i,j]) then
    7 f[i,j]:=f[i-1,j-w]+v;

    优化空间 用一维数组存储,f[v] ,v表示总容量

    for i=1..N
    for v=V..0
    f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};

    区别是v是从V->0

    这样是避免重复选取某个元素,如果从0->V,当v=k时,满足据k>w(i)选入, v>k时 又会再次选入。

    二维数组i-1行元素存储了上次情况,无需考虑

    完全背包

    for i=1..N
    for j=c..V
    f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
       你会发现,这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?
    首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[v]是由状态f[v-c]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个没有已经选入第i件物品的子结果f[v-c]。
       而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[v-c],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
       这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:
       f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
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