0. 喜洋洋
小黑喵教程3之卷积神经网络中的softmax函数和softmax loss。在CNN完成MNIST手写识别的实验中，我们的loss函数选用了softmax loss，但没有多作说明。今天特别的把这一点内容补上，小白喵要认真听课哦。
听到softmax不禁就会想起max。要区别两者的关系，打个最通俗的比方：max是一个很专一的人，无论有多少的输出，它也只会对应一个输出；而softmax不同，它会把所有的输入当做“备胎“，给每一个输入打分，输出为等同输入长度的向量，每个元素值域为[0,1]，且加和为1（例如CNN的MNIST实验中，某一个图片对应0-9十个分类的概率）。
对softmax这个渣男有了基本认识之后，就需要对其公式和loss函数公式进行简单的讲解了。不要怕公式，放平心态其实挺简单的。
1. 灰太狼
1.1 softmax
首先回忆一下softmax出现在网络的哪个位置。前面也讲了，他是最后做“分类预测”（打分）时出现，所以肯定是神经网络完成“卷积-池化-全连接层”之后。所以它接收的输入为全连接层输出的向量。
在CNN的MNIST实验中，可以理解为softmax就是接收了最后一个全连接层10维向量的输出。之前全连接层的输出每个元素的值可能千奇百怪并不是在[0,1]之间，当然值越大代表某个数字的概率也就越大。softmax要做的其实就是把这组10维向量经过一个数学公式进行归一化。
softmax公式如下：
上式中，Sj为10维向量的第j维对应的softmax输出，aj为第j维向量原来的值，分母中即为所有的该向量的总和（归一化，在MNIST例子中T=10）。所以每一个Sj均在[0,1]直接，且加和为1。
举个例子，对于一个3分类的问题。如果最后一层全连接输出为（1，2，3），那么经过softmax函数之后输出为（0.09，0.24，0.67）。这就代表了它属于第3类的概率最高。
丹丹可能会疑惑。既然（1，2，3）已经能好好的表达属于哪个概率最大了，为什么还要softmax呢。第一是为了归一化，方便设计loss函数；第二是在神经网络训练减少loss时，方便求导（减少loss就是按照梯度下降最快的方式，softmax loss函数求导性质比较好，所以优化相对简单），先简单这么理解吧，需要发论文的时候这一块要更深入的了解。
1.2 softmax loss
讲完softmax后感觉softmax loss就很容易了，就是一个数学定义式。loss函数是为了做什么，不就是记录预测值和真实值的差距吗。定义为：
上式中，L代表softmax loss。Sj就是1.1中介绍的softmax输出，yj代表这幅图片属于哪个类（也就是说，MNIST例子中，yj这个10维向量只有1个元素为1，其他都为0）。所以上式简单表达为：
最后softmax loss就变为了softmax输出中打分最高的一维的log函数取负。对应的实际意义是什么呢，我们可以先看看-log函数的图像：
我们的Sj是处于[0,1]之间，对于loss函数来说，Sj越大（网络预测的概率越大，越准），那么L的值就越小；相反L的值越大。例如，Sj=0.6和Sj=0.3都是归类到数字1，但是前者的L值更小代表它预测得更准。所以当我们训练很多轮加强网络深度之后，对于MNIST这个例子，最好的效果就是让softmax输出类似于（0.99,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0），这样L值无限趋近于0。
2. 我只是一只喵
我也学到了很多东西，当然也愿意和丹丹分享。如果有不明白的地方一定要和小黑喵讨论。好啦，今天的内容就到这里了。