T1随(rand)「概率和期望」「动态规划」
昨天误删了两篇博客QAQ
所以直接写正解了：
此T1实则为T3
由1<=ai<mod,且x=x*ai%mod 得 1<=任意状态<mod
定义f[i][j]为到第i位的当前状态为j的方案数
可得$f[i*2][j*k\%mod]=f[i][j]*f[i][k]$，
考虑对m进行优化
考虑快速幂的思想，a^b%c
f数组为a，m为b，定义g数组为ans
g[i][j]为累计到m的二进制第i位的状态为j的方案数
$g[2^a+2^b+2^c][j*k\%mod]=g[2^a+2^b][j]*f[2^c][k]$
时间复杂度O(log(m)mod^2)
因为f和g的转移只与第一维的上一位有关，滚动起来优化空间
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<vector>
5 #define int long long
6 using namespace std;
7 const int modd=1e9+7;
8 int read()
9 {
10 int f=1,x=0;char ch=getchar();
11 while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
12 while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
13 return f*x;
14 }
15 int n,m,p,a[100005],t[1005];
16 int f[3][1005],g[3][1005];
17 int qpow(int a,int b,int c)
18 {
19 int ans=1;
20 while(b)
21 {
22 if(b&1) ans=ans*a%c;
23 b>>=1;
24 a=a*a%c;
25 }
26 return ans%c;
27 }
28 signed main()
29 {
30 n=read(),m=read(),p=read();
31 for(int i=1;i<=n;i++)
32 a[i]=read(),t[a[i]]++;
33 if(n==1)
34 {
35 int ans=qpow(a[1],m,p);
36 printf("%lld
",ans%modd);
37 return 0;
38 }
39 if(p==2)
40 {
41 puts("1");
42 return 0;
43 }
44 m--;
45 f[0][1]=1;
46 for(int j=1;j<p;j++)
47 for(int k=1;k<p;k++)
48 f[1][j*k%p]+=f[0][j]*t[k]%modd,f[1][j*k%p]%=modd;
49 for(int j=1;j<p;j++)
50 g[0][j]=f[1][j];
51 int cnt=1,cnt2=0;
52 while(m)
53 {
54 if(m&1)
55 {
56 cnt2^=1;
57 memset(g[cnt2],0,sizeof g[cnt2]);
58 for(int j=1;j<p;j++)
59 for(int k=1;k<p;k++)
60 g[cnt2][j*k%p]+=g[cnt2^1][j]*f[cnt][k]%modd,g[cnt2][j*k%p]%=modd;
61 }
62 cnt^=1;
63 memset(f[cnt],0,sizeof f[cnt]);
64 for(int j=1;j<p;j++)
65 for(int k=1;k<p;k++)
66 f[cnt][j*k%p]+=f[cnt^1][j]*f[cnt^1][k]%modd,f[cnt][j*k%p]%=modd;
67 m>>=1;
68 }
69 int a1=0,a2=0;
70 for(int j=1;j<p;j++){
71 a1=(a1+j*g[cnt2][j]%modd)%modd;
72 a2=(a2+g[cnt2][j])%modd;
73 }
74 int ans=a1*qpow(a2,modd-2,modd)%modd;
75 printf("%lld
",ans%modd);
76 }
T2 单（single）
t=0:
暴力预处理出b[1]，1为根,
dfs处理sum[x],sum[x]为x的子树大小
在树上，x与其父亲fa的转移关系：
b[x]=b[fa]+sum[1]-2*sum[x]
dfs O(n)转移
t=1：
将上式变形，
b[x]-b[fa]=sum[1]-2*sum[x]
n-1（除了x=1）个式子相加
左式为定值，右=(n-1)sum[1]-2*Σ(sum[2]+……sum[n])
Σ(sum[2]+……sum[n])=b[1]
求的sum[1]后代回求解
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<vector>
5 #include<cmath>
6 #include<queue>
7 #define int long long
8 using namespace std;
9 const int maxn=100005;
10 int read(){
11 int f=1,x=0;char ch=getchar();
12 while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
13 while(ch<='9'&&ch>='0'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
14 return f*x;
15 }
16 int n,a[maxn],b[maxn],h[maxn],nu,d[maxn],fa[maxn];
17 struct node{int v,nxt;}e[2*maxn];
18 void add(int x,int y){e[++nu].v=y;e[nu].nxt=h[x];h[x]=nu;}
19 void bfs()
20 {
21 queue<int>q;
22 d[1]=1;
23 q.push(1);
24 while(q.size())
25 {
26 int x=q.front();q.pop();
27 for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
28 {
29 int y=e[i].v;
30 if(d[y])continue;
31 q.push(y);
32 d[y]=d[x]+1;
33 fa[y]=x;
34 }
35 }
36 }
37 bool v[maxn];int sum[maxn];
38 void dfs1(int x)
39 {
40 v[x]=1;
41 sum[x]=a[x];
42 for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
43 {
44 int y=e[i].v;
45 if(v[y])continue;
46 dfs1(y);
47 sum[x]+=sum[y];
48 }
49 }
50 void dfs2(int x)
51 {
52 v[x]=1;
53 for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
54 {
55 int y=e[i].v;
56 if(v[y])continue;
57 b[y]=b[x]+sum[1]-2*sum[y];
58 dfs2(y);
59 }
60 }
61 void dfs3(int x)
62 {
63 v[x]=1;
64 for(int i=h[x];i;i=e[i].nxt)
65 {
66 int y=e[i].v;
67 if(v[y])continue;
68 sum[x]-=sum[y];
69 dfs3(y);
70 }
71 a[x]=sum[x];
72 }
73 void init()
74 {
75 nu=0;
76 memset(e,0,sizeof e);
77 memset(h,0,sizeof h);
78 memset(a,0,sizeof a);
79 memset(b,0,sizeof b);
80 memset(d,0,sizeof d);
81 memset(sum,0,sizeof sum);
82 }
83 signed main()
84 {
85 int T=read();
86 while(T--)
87 {
88 init();
89 n=read();
90 for(int i=1;i<n;i++)
91 {
92 int x=read(),y=read();
93 add(x,y),add(y,x);
94 }
95 bfs();
96 int tt=read();
97 if(tt==0)
98 {
99 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
100 for(int i=1;i<=n;i++)
101 b[1]+=a[i]*(d[i]-d[1]);
102 memset(v,0,sizeof v);
103 dfs1(1);
104 memset(v,0,sizeof v);
105 dfs2(1);
106 for(int i=1;i<=n;i++)
107 printf("%d ",b[i]);
108 }
109 else
110 {
111 for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
112 int tot=0;
113 for(int i=2;i<=n;i++)
114 tot+=(b[i]-b[fa[i]]);
115 sum[1]=(tot+2*b[1])/(n-1);
116 for(int i=2;i<=n;i++)
117 sum[i]=(sum[1]-b[i]+b[fa[i]])/2;
118 memset(v,0,sizeof v);
119 dfs3(1);
120 for(int i=1;i<=n;i++)
121 printf("%d ",a[i]);
122 }
123 puts("");
124 }
125 }
T3 题（problem）
typ==1时为catalan数，可以看成括号匹配
typ==2
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define int long long
3 #define R register
4 using namespace std;
5 const int mod=1e9+7;
6 const int maxn=200005;
7 int n,typ;
8 int f[2][2005][2005];
9 int fac[maxn],inv[maxn],facinv[maxn];
10 void init()
11 {
12 fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=facinv[0]=facinv[1]=1;
13 for(R int i=2;i<=2*n+1;i++)
14 {
15 fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
16 inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
17 facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%mod;
18 }
19 }
20 int C(R int n,R int m)
21 {
22 return fac[n]*facinv[m]%mod*facinv[n-m]%mod;
23 }
24 int cat(R int n)
25 {
26 return C(2*n,n)*inv[n+1]%mod;
27 }
28 signed main()
29 {
30 scanf("%lld%lld",&n,&typ);
31 if(typ==2)
32 {
33 R int m=n<<1;
34 f[0][n][n]=1;
35 int t=0;
36 for(R int k=1;k<=n;++k)
37 {
38 t^=1;
39 for(R int i=0;i<=m;++i)
40 f[t][i][n]=f[t][n][i]=0;
41 for(R int i=1;i<=m;++i)
42 f[t][i][n]=(f[t][i][n]+f[t^1][i+1][n]+f[t^1][i-1][n])%mod;
43 for(R int j=1;j<=m;++j)
44 f[t][n][j]=(f[t][n][j]+f[t^1][n][j+1]+f[t^1][n][j-1])%mod;
45
46 }
47 printf("%lld
",f[t][n][n]%mod);
48 return 0;
49 }
50
51 R int ans=0;
52 init();
53 if(typ==0)
54 for(R int i=0;i<=n;i+=2)
55 ans=(ans+C(n,i)*C(i,i>>1)%mod*C(n-i,(n-i)>>1)%mod)%mod;
56 if(typ==1)
57 ans=cat(n>>1);
58 if(typ==3)
59 for(R int i=0;i<=n;i+=2)
60 ans=(ans+C(n,i)*cat(i>>1)%mod*cat((n-i)>>1)%mod)%mod;
61 printf("%lld
",ans);
62 }