HAOI2007 反素数

传送门

这道题或许是披着数论外衣的搜索题……

在进行爆搜之前，我们有几个结论性的东西需要进行证明。

1.区间内最大的反质数是因子最多的最小的数。

这个很好理解，首先它必须因子最多，其次，如果他不是最小的那一个的话，那么它的前面就会有一个因子个数与之相同的数，那他就不是反素数了。

2.本题数据范围之内，一个数不会有多于10个不同的素因子。

我们把前11个素数乘起来，已经超出了2*10⁹，所以必然不会有多于10个不同的素因子。

3.本题数据范围之内，任何一个素因子的指数不超过31.

这个还是很好理解，毕竟int的最大值我们都懂。

4.如果一个数是反素数，那么它必然可以被唯一分解为以下形式：x = 2^c1 * 3^c2 * …… 29^cn,满足c单调不增，p必然是前10个素数。

这个是为什么呢？首先我们先证明后一点，它必然能被分解为最小的几个连续的素数，而且素数不大于29。我们 假设一个素数p是x的一个质因子，那么x / p^k * q^k，（q是一个小于p的质数），这个数它的因子个数和x是相等的（这个很好证明，数的因子个数计算公式），但是它明显要比x小，说明x不是一个反素数。这样推理出来，那么x必然被分解为连续的几个最小的素数，否则的话，我们就能找到一个数，比它小而因子个数和它一样多。

其实这个也已经证明了前一点，如果指数出现了递增，我们把增的那个指数减少，前面的增加，这样又得到因子数相同而更小的一个数，他就又不是反素数了。

有了这么多的限制之后，我们直接爆搜就行。

看一下代码。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('
')
#define pr pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define sc second
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 20005;
const int N = 10000005;
const int INF = 2000000005;
const int mod = 13;
 
ll read()
{
   ll ans = 0,op = 1;
   char ch = getchar();
   while(ch < '0' || ch > '9')
   {
      if(ch == '-') op = -1;
      ch = getchar();
   }
   while(ch >='0' && ch <= '9')
   {
      ans *= 10;
      ans += ch - '0';
      ch = getchar();
   }
   return ans * op; 
}

ll n,p[12] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29},minn = INF,mtot;

void dfs(ll sum,ll lim,ll cur,ll tot)
{
   if(cur >= 10)
   {
      if(tot > mtot || !mtot) mtot = tot,minn = sum;
      else if(tot == mtot) minn = min(minn,sum);
      return;
   }
   rep(i,0,lim)
   {
      if(sum > n) break;
      dfs(sum,i,cur + 1,tot * (i + 1));
      sum *= p[cur];
   }
}

int main()
{
   n = read();
   if(n == 1) printf("1
");
   else dfs(1,31,0,1),printf("%lld
",minn);
   return 0;
}