homework-01

　　最大子数组和问题求解:

　　对于这个问题，一下就可以想到一个O(n²)的算法，即穷举连续数组段的首尾索引，两个for解决问题。但还有没有更快的方法呢？答案是肯定的，下面就给出一个时间复杂度为O(n)的算法。

　 　该算法是基于动态规划思想的，我们考虑数组（arr[]）中以 i 为结尾的连续数据的的最大值，并用max_arr[]来记录这个最大值。显然，对于 i=0，最大值就是arr[0]，即max_arr[0]=arr[0]，那对于 i>0 的情况呢？显然max_arr[i]的值受到max_arr[i-1]的值的影响（这正是动态规划思想的体现：将之前计算的结果保留下来用以计算之后的结 果），如果max_arr[i-1]>0（等不等于0无所谓，看具体要求），则max_arr[i]=max_arr[i-1]+arr[i]，否 则max_arr[i]=arr[i]，除了这两种情况别无其他。于是我们得到了下面这个递推关系：

                                        max_arr[i]= arr[i]，i=0或max_arr[i-1]>=0

                                                          max_arr[i-1]+arr[i]，其他情况

根 据该递推关系，我们就可以得到最大的子数组和了，但还有一个小问题：这样我们只能的到最终的结果值，却不能的到相应的子数组，那有没有办法将子数组也找出 来呢？显然是可以的。我们可以在申请一个数组来保存以 i 结尾的子数组取得最大值时最开始的索引（相对于原数组），而不难得出该数组（max_startindex_arr）满足以下递推关系：

                                     max_startindex_arr=0，i=0

                                                                    max_startindex_arr[i]=max_startindex_arr[i-1]，max_arr[i-1]>=0

                                                                    max_startindex_arr[i]=i，其他情况

　　这样我们便记录了所有所需的信息，问题便迎刃而解了，当然这里的最大子数组不唯一，可能有多个，不过根据上面记录的信息，我们都可以把他们找出来。下面给出一种C++实现：

平台：WindowsVisual Studio

语言：C++

输入：保存在文件中，第一行是一个数字N加一个英文逗号","，表征输入数据的个数；第二行有N个数字，以英文

          逗号隔开，作为输入的原始数组。

输入样例：6,
                  5,6,-3,8,-9,2

输出：输出到屏幕，格式如下：

           最大值：16
           首次出现范围：0 -- 3

           其中，最大值是最大子数组和，首次出现范围是产生第一个最大值的子数组索引范围。

运行方法：在cmd中运行：程序可执行文件名+存放输入数据的文件全路径或相对路径。

测试用例：

输出结果：

源代码：

//下面程序针对一维数组一维数组
#include<iostream>
#include<fstream>
using namespace std;

int find_max(int *src_arr,int *max_arr,int *max_startindex_arr,int len){
    int max_index=0;
    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (max_arr[i-1]>=0)
        {
            max_arr[i]=max_arr[i-1]+src_arr[i];
            max_startindex_arr[i]=max_startindex_arr[i-1];
            if (max_arr[i]>max_arr[max_index])
            {
                max_index=i;
            }
        }else
        {
            max_arr[i]=src_arr[i];
            max_startindex_arr[i]=i;
            if (max_arr[i]>max_arr[max_index])
            {
                max_index=i;
            }
        }
    }
    return max_index;
}
int main(int argc,char *argv[]){
    int element_num=-1;                //数组元素个数
    int max_index=0;                         //最大值索引
    char tmp;
    ifstream my_cin;
    int *src_arr;                      //输入数据数组
    int *max_arr;                      //保存当前最大值的数组
    int *max_startindex_arr;           //保存最大值范围的起始索引
    if(argc!=2){
        cout<<"命令行格式错误！";
        return 0;
    }else{
        my_cin.open(argv[1]);
    }
    if(!my_cin.is_open()){
        cout<<"打开输入文件失败！";
        return 0;
    }else{
        if(!(my_cin >> element_num)){
            cout<<"文件格式错误，无法确定输入数据个数！";
            my_cin.close();
            return 0;
        }
        if(element_num==0){
            cout<<"原始数据个数为0！";
            my_cin.close();
            return 0;
        }
        src_arr = new int[element_num];
        max_arr = new int[element_num];
        max_startindex_arr = new int[element_num];

        for (int i = 0; i < element_num; i++)
        {
            my_cin>>tmp;
            if (tmp!=','||!(my_cin>>src_arr[i]))
            {
                cout<<"文件格式错误！";
                my_cin.close();
                return 0;
            }
        }
        my_cin.close();
        max_arr[0]=src_arr[0];
        max_startindex_arr[0]=0;
    }

    max_index = find_max(src_arr,max_arr,max_startindex_arr,element_num);

    cout<<"最大值："<<max_arr[max_index]<<endl;
    cout<<"首次出现范围："<<max_startindex_arr[max_index]<<" -- "<<max_index<<endl;

    return 0;
}

　　从上面的代码可以看出：其实核心代码没有几行，大量的代码都是一些容错性处理。当然，可能还是有许多错误不能处理，就比如结果溢出，这些准备在下一次作业中进行处理。当然，要想支持任意大整数，如果不利用语言特性（如python、java对任意大数据的支持），恐怕还是有点难度的。另外，由一维数组的求解过程，我们也很容易联想到二维数组的求解算法，可以在O(mn)的时间内解决问题，这个就留给下次作业了。

另外：我所使用的教科书是《代码大全》。