二进制基础

一．计算机中为什么要用二进制

1．计算机中一个数是用电子器件的“开”和“关”来表示的，即二进制的“1”和“0”。

2．二进制运算法则简单。如加法：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10 （3个公式）而十进制加法法则需记55个公式。

3.二进制是计算机中采用的基本数制；而八进制和十六进制用作二进制的压缩形式；十进制是理解其他数制的基础。

  如：串行通讯接口COM1口的输入输出端口地址用 03F8-03FF（十六进制数）表示 。

二．四种进位计数制的基数、位权和权值

   进位计数制是一种数的表示方法，它按进位的方式来计数，简称为进位制。

1． 十进制的基数是10，10个数字符号，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

     进位规则：逢10进1

         例：（518）₁₀ =5*10²+1*10¹+8*10⁰

                        10²     10¹     10⁰      是十进制的位权

                       100   10    0    权值

  2．二进制的基数是2，  2个数字符号, 0、1

     进位规则：逢2进1

         例：（1101）₂ =1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ =（13）₁₀

                                         2³     2²     2¹     2⁰   是二进制的位权

                   　　　　　  8   4   2   1   权值

  3．十六进制基数是16，16个数字符号, 0、1、2、3、4、5、6、

                                  7、8、9、A、B、C、D、E、F

     进位规则：逢16进1

         例：（2AF）₁₆ =2*16²+A*16¹+F*16⁰ =（687）₁₀

                                  16²    16¹     16⁰       是十六进制的位权

                                           256   16      1     权值

4、八进制基数是8，8个数字符号，0、1、2、3、4、5、6、7

    进位规格：逢8进1

       例：（112）₈ =1*8²+1*8¹+2*8⁰ =（74）₁₀

                     8²    8¹     8⁰       是八进制的位权

                                         64  8      2     权值

     四种进制的缩写：

     十进制：518D、 二进制：1101B、十六进制：2AFH 八进制：以0开头

 

 二进制数与其他数制的对应关系

二进制	十进制	十六进制	八进制	二进制	十进制	十六进制	八进制
0	0	0	0	1001	9	9	11
1	1	1	1	1010	10	A	12
10	2	2	2	1011	11	B	13
11	3	3	3	1100	12	C	14
100	4	4	4	1101	13	D	15
101	5	5	5	1110	14	E	16
110	6	6	6	1111	15	F	17
111	7	7	7	10000	16	10	20
1000	8	8	10	1001	/	/	/

  

 

三．二进制数的算术运算

1． 二进制数的算术运算

（1）． 二进制数的加法

   法则：0+0 =0

         0+1 = 1+0 = 1

         1+1 = 10 （进位）

   例：（1011）₂ +（1110）₂ = （11001）₂

     1011

  + 1110 

   11001

 

（2）．二进制数的减法

   法则： 0—0 = 0

1—0 = 1

0—1 = 1（有借位）

          1—1 = 0

   例：（1101）₂ —（0110）₂ =（0111）₂

（3）．二进制数的乘法

法则：0*0=0

      0*1=1*0=0

      1*1=1

例：（1100）₂*（1010）₂  =（1111000）₂

  

（4）．二进制数的除法

法则：0 / 0 = 0

      1 / 1 = 1

例：（1111000）₂  /（1010）₂  = （1100）₂

2． 二进制数的逻辑运算

 

    逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。可以表示为“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。

（1）“或”运算（逻辑加法），符号“V”或“+”

0 V 0 = 0

0 V 1 = 1 V 0 = 1

1 V 1 = 1  

    两个变量只要有一个为1,其逻辑加的结果就为1；两者都为1，则逻辑加当然为1。

或逻辑关系相当于“电灯”的并联关系。

（2）“与”运算（逻辑乘法），符号“∧”或“Х”“· ”

  0 ∧ 0 =  0

  0 ∧ 1 = 1 ∧ 0 = 0

  1 ∧ 1 = 1

只有参与运算的逻辑变量都同时为1时，逻辑乘积才等于1。
   与逻辑关系相当于“用电器”的串联关系。

        

（3）“非”运算（逻辑否定）

  非0等于1      

  非1等于0

（4）异或逻辑关系  符号“⊕”

  0⊕0 = 0

  0⊕1 = 1

  1⊕0 = 1

  1⊕1 = 0

只要两个逻辑变量相同，则“异或”运算的结果就位 0 ；当两个逻辑变量不同时，则“异或”的结果才为1。

因此，以上逻辑运算没有算术运算中的进位或借位问题。

逻辑运算在计算机内部的电路设计、软件以及数据处理过程中经常使用。 

 

四． 不同进制之间的数据转换

                   

1. 十进制数与二进制数之间的转换

 （1）． 2        1 0

   将二进制数转换成十进制数：按位权展开求和。

   整数：（11001100）₂ =（204）₁₀

小数：（1000001.01）₂ =(65.25) ₁₀

 

 （2）．  10        2   

   整数：“除二取余”“下高上底”

 例：（238）₁₀=（11101110）₂

         简便算法：将十进制数分解成若干个2的整次幂之和，

        例：（238）₁₀ =128+64+32+8+4+2=2⁷+2⁶+2⁵+2³+2²+2¹

             =（11101110）₂

   小数“乘二取整” “上高下底”

        例：（0.75）₁₀ =(0.11)₂ 

 

3． 二进制数与十六进制数之间的转换

 

因为2⁴ = 16¹，2⁸ = 16²，即4位二进制数可表示一位十六进制数。

  （1） 2       16

    每4位分1组，不足4位前补0

   例：（10111010011010）₂ =（2E9A）₁₆

 

  （2）  16        2

   例：（2E9A）₁₆ =（10111010011010）₂

3．十进制数与十六进制数之间的转换

  （1） 10       16

       “除十六取余” “下高上底”

  或：10      2      16

      （228）₁₀=（11100100）₂ =（E4）₁₆

 

  （2）16      10      按权展开

      （568）₁₆ =5*16²+6*16¹+8*16⁰ =5*256+6*16+8*1 =（1384）₁₀

    或：16     2      10

4、八进制化为十进制：

例：将八进制数12转换成十进制数

（12）₈ =1*8¹+2*8⁰ =（10）₁₀

5、八进制化为二进制：

规则：按照顺序，每1位八进制数改写成等值的3位二进制数，次序不变。

例： （17.36）₈ = （001 111 .011 110）₂ = （1111.01111）₂

6、八进制化为十六进制

先将八进制化为二进制，再将二进制化为十六进制。

例：（712）₈ = （1110 0101 0）₂ = （1CA）₁₆

转换为八进制

7、二进制化为八进制：

整数部份从最低有效位开始，以3位一组，最高有效位不足3位时以0补齐，每一组均可转换成一个八进制的值，转换完毕就是八进制的整数。

小数部份从最高有效位开始，以3位一组，最低有效位不足3位时以0补齐，每一组均可转换成一个八进制的值，转换完毕就是八进制的小数。

例：（11001111.01111）2 = （011 001 111.011 110）2 = （317.36）8

8、十六进制化为八进制：

先用1化4方法，将十六进制化为二进制；再用3并1方法，将二进制化为8进制。

例： （1CA）16 = （111001010）2 = （712）8

说明：小数点前的高位零和小数点后的低位零可以去除。

9、十进制化八进制

方法1：采用除8取余法。

例：将十进制数115转化为八进制数

8| 115…… 3

8| 14 …… 6

8| 1 …… 1

结果：（115）₁₀ = （163）₈

方法2：先采用十进制化二进制的方法，再将二进制数化为八进制数

例：（115）10 = （1110011）2 = （163）8

 五、二进制的位运算（java）

　　位运算是java中很重要的基础知识，涉及到数据的读写、IO流、数据处理等多方面的知识，熟练掌握位运算对于我们学习IO相关知识有很大的好处。

　

含义	Pascal语言	C语言	Java
按位与	a and b	a & b	a & b
按位或	a or b	a | b	a | b
按位异或	a xor b	a ^ b	a ^ b
按位取反	not a	~a	~a
左移	a shl b	a << b	a << b
带符号右移	a shr b	a >> b	a >> b
无符号右移			a>>> b

(1)、运算说明

=== 1. and运算 & ===

　　and运算通常用于二进制的取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

　　相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

00101

11100

（&；或者and）

----------------

00100

=== 2. or运算 | ===

　　or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

　　相同位只要一个为1即为1。

00101

11100

（|或者or）

----------------

11101

=== 3. xor运算 ^ ===

　　异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.

　　xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

　　相同位不同则为1，相同则为0。

00101

11100

（^或者xor）

----------------

11001

运算结果

x <- x # y

y <- x @ y

x <- x @ y

　　执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为（x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。

　　加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程（Pascal）。

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a + b;

b:=a - b;

a:=a - b;

end;

　　好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a xor b;

b:=a xor b;

a:=a xor b;

end;

　　注意：位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。也就是说，如果上述程序的“b”改成“a”的话，其结果是变量a变成零。因此，在使用快速排序时，由于涉及到一个数的自我交换，因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话，应该先判断。具体的时间损耗在此略过。

=== 4. not运算 ~ ===

not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

var

a:word;

begin

a:=100;

a:=not a;

writeln(a);

end.

 

#include<stdio.h>

int main()

{

    unsigned short a=100;

    a=~a;

    printf("%d ",a);

    return 0;

}

 

　　如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算 << ===

　　a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

　　通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

　　定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 >> ===

　　和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

 

下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

功能 | 示例 | 位运算

----------------------+---------------------------+--------------------

去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1

在最后加一个0　| (101101->1011010) | x shl 1

在最后加一个1　| (101101->1011011) | x shl 1+1

把最后一位变成1　| (101100->101101) | x or 1

把最后一位变成0　| (101101->101100) | x or 1-1

最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1

把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))

把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))

右数第k位取反　| (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))

取末三位 | (1101101->101) | x and 7

取末k位　| (1101101->1101,k=5) | x and(1 shl k-1)

取右数第k位　| (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1

把末k位变成1　| (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)

末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)

把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)

把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)

把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)

取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1

去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))（或 x and (-x)）