NOIP2005普及组第3题 采药 （背包问题）

NOIP2005普及组第3题 采药　　　

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题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 

 

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入

第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出

包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

 

 

【数据规模】

 

 

 

对于30%的数据，M <= 10；

 

对于全部的数据，M <= 100。

 

样例输入

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出

3

题目的要求是用有限的时间获取价值尽可能高的草药，所以可以用01背包来做。

可以假设采药时的最优解是在时间T内i棵，用c(i,T)表示，此时这个解要么包含i这棵草药，要么不包含，假设采这颗草药的时间为T1，价值为V,如果包含，这个最优解变成了c(i-1,T-T1)+V，如果不包含，这个最优解变成了c(i-1,T)，这时只要判断c(i-1,T-T1)+V和c(i-1,T)哪个价值更大，哪个就是最优解，即c(i,T)=max(c(i-1,T-T1)+V,c(i-1,T))。

现在令第j个草药的价值为v[j]，采这个草药的时间为ti[j]，i时的价值为h[i],则有h[i]=max(h[i-1],h[i-ti[j]]+v[j])。而h[0]为0，我们就得到了最优解的递推公式。代码如下:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int dp[1005];
int v[105],w[105];
int main()
{
    int t,n;
    int i;
    cin>>t>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];
    memset(dp,0,sizeof(0));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=t;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[t];
    return 0;
}