【划分数】系列问题

【划分数】系列问题 

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整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题:

        1) 练练组合数学能力.
        2) 练练递归思想
        3) 练练DP

总之是一道经典的不能再经典的题目:

        这道好题求:
　　1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
　　2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
　　3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
　　4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
　　5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

1.将n划分成不大于m的划分法：

1).若是划分多个整数可以存在相同的：

        dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]  dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
        则划分数可以分为两种情况:
        a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
        b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];

2).若是划分多个不同的整数：

        dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]   dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
        同样划分情况分为两种情况：
        a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
        b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，
        并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]

2.将n划分成k个数的划分法：

方法可以分为两类：dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

        第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]

        第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]

另一种方式：

        dp[i,j]表示将i分成j份的方案数。

        dp[i,j]:=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+dp[i-j,3]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j];

        时间复杂度是n*k^2。O(n*k)的方法：

        由于，

        dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j];

        dp[i-1,j-1]=dp[(i-1)-(j-1),1]+dp[(i-1)-(j-1),2]+…+dp[(i-1)-(j-1),j-1]

        =dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1];

        因此,

        dp[i,j]=dp[i-j,1]+dp[i-j,2]+…+dp[i-j,j-1]+dp[i-j,j]

         =dp[i-1,j-1]+dp[i-j,j];

hzwer思路 Orz

        就是它这个分法比较特殊
        不是一堆一堆分的
        而是每次把每一堆+1，或者把空堆变成1 

拓展：还有一个划分为不超过k组的问题

        就是看成与本题类似，但是可以有元素为0
        得到：dp[i,j]=dp[i-j,j]+dp[i,j-1]
        区别就是dp[i,j-1]中i没有-1
        参照hzwer的思想，因为元素可以为0，就算某一堆为空堆，总数也不需要-1

3.将n划分成若干奇数的划分法：（不懂）

g[i][j]:将i划分为j个偶数

f[i][j]:将i划分为j个奇数

g[i][j] = f[i - j][j];

f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j]