POJ 1061 青蛙的约会（拓展欧几里得求同余方程，解ax+by=c）

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

 

题目分析

首先，我们可以轻松的列出方程： 
设走了t步，x,y,m,n,L含义如题。 
则x+m*t≡y+n*t (mod L) 
移项：(x-y)+t(m-n)≡0(mod L) 
这个式子等价于(x-y)+t(m-n)=kL 
//t和k才是未知数

再移项：kL-t(m-n)=(x-y) 
为了化出不定方程的标准形式（不化也可以），再改成： 
kL+t(n-m)=(x-y) 
记n-m=p,x-y=q 
则kL+tp=q 
//再次重申，t和k才是未知数！ 
上式已经是标准的不定方程了，然后怎么解它呢？

以下是重点 
首先，它有解的前提是gcd(L,p)|q。(整除符号，不是或运算(QωQ)) 
所以我们先求gcd(L,p)。做一次拓欧，求出gcd(L,p)，同时我们求出了（拓欧的）x0,y0先放着。（为了不和题目的x,y冲突） 
接着，如果gcd(L,p)不整除q，那么之后无法做下去了，此题无解。 

 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
usingnamespace std;

__int64 x,y,a,b,c,d;
__int64 n,m,X,Y,L;

__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    __int64 t,d;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    d=gcd(b,a%b);
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return d;
}

int main()
{
    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&X,&Y,&m,&n,&L)==5)
    {
        a=n-m;
        b=L;
        c=X-Y;
        d=gcd(a,b);
        if(c%d!=0)
        {
            printf("Impossible
");
            continue;
        }
        x=x*(c/d);
        y=y*(c/d);

        /*通解：
        x1=x+b/d*t;
        y1=y-a/d*t;
        t为任意整数
        */
        //找最小的x1，即求x+b/d*t最小，那么只有t为某一个数时才最小
        //显然t必须与x正负相反才有最小，那么就看做x-b/d*t,这个式子的最小值便是t=x/(b/d)时，注意这是整型除法
        __int64 k=x*d/b;
        k=x-k*b/d;
        if(k<0)
            k+=b/d;
        printf("%I64d
",k);
    }
    return0;
}

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <cmath>  
#include <vector>  
#include <string>  
#include <queue>  
#include <stack>  
#include <algorithm>  

#define INF 0x7fffffff  
#define EPS 1e-12  
#define MOD 1000000007  
#define PI 3.141592653579798  
#define N 100000  

using namespace std;  

typedef long long LL;  
typedef double DB;  

LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)  
{  
    if(b==0)  
    {  
        x=1;  
        y=0;  
        return a;  
    }  
    LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);  
    LL temp=x;  
    x=y;  
    y=temp-a/b*y;  
    return ans;  
}  

LL cal(LL a,LL b,LL c)  
{  
    LL x,y;  
    LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);  
    if(c%gcd!=0) return -1;  
    x*=c/gcd;  
    b/=gcd;  
    if(b<0) b=-b;  
    LL ans=x%b;  
    if(ans<=0) ans+=b;  
    return ans;  
}  

int main()  
{  
    LL x,y,m,n,L;  
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)  
    {  
        LL ans=cal(m-n,L,y-x);  
        if(ans==-1) printf("Impossible
");  
        else printf("%lld
",ans);  
    }  
    return 0;  
}  

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long x, y, m, n, l, k, t, d, va, vb, ba, bb;
long long extgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
{
    long long d = a;
    if (b != 0)
    {
        d = extgcd(b, a%b, y, x);
        y = y - a / b * x;
    }
    else
    {
        x = 1; y = 0;
    }
    return d;
}
int main()
{
    cin >> ba >> bb >> va >> vb >> l;
    m = va - vb; n = bb - ba;
    d = extgcd(m, l, x, y);
    if (n%d != 0)
    {
        puts("Impossible");
        return 0;
    }
    t = l / d;
    k = (x*(n / d) % t + t) % t;
    if (k < 0) k += l;
    cout << k << endl;
    return 0;
}

ax+by=c问题

 

问题：ax+by=c，已知a、b、c，求解使该等式成立的一组x，y。其中a、b、c、x、y均为整数

 

a,b的最大公约数为gcd(a,b)。如果c不是gcd(a,b)的倍数，则该等式无解，因为等式左边除以gcd(a,b)是整数，

而等式右边除以gcd(a,b)后为小数。(根据解方程的时候，在等式的左右两边同时除以非0的整数，等式依然成立)

 

因此，只有当c是gcd(a,b)的倍数的时候，该等式有解。这样，可以通过计算使ax1+by1=gcd(a,b)成立的x1、y1，

然后有x=(c/gcd(a,b))*x1，y=(c/gcd(a,b))*y1，得到x,y。

// 等式ax+by=c,已知a、b、c,求x和y。  
// 解该线性方程等同于解同余式ax = c(mod b)  
// 返回值表示是否有解,true有解,false无解  
bool linear_equation(int a, int b, int c, int &x, int &y)  
{  
    int n = extended_euclid(a, b, x, y);  
    if(c%n)  
        return false;  
    int k = c/n;  
    x *= k;  
    y *= k;  
    return true;  
}