ZOJ 3609 Modular Inverse(拓展欧几里得求最小逆元）

Modular Inverse

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The modular modular multiplicative inverse of an integer a modulo m is an integer x such that a-1≡x (mod m). This is equivalent to ax≡1 (mod m).

Input

There are multiple test cases. The first line of input is an integer T ≈ 2000 indicating the number of test cases.

Each test case contains two integers 0 < a ≤ 1000 and 0 < m ≤ 1000.

Output

For each test case, output the smallest positive x. If such x doesn't exist, output "Not Exist".

Sample Input

3
3 11
4 12
5 13

Sample Output

4
Not Exist
8

题解：
最小乘法逆元：由ax≡1 (mod m)得：转化为解线性方程ax+by=1
需要注意的地方：最小解取模时不能写成（x%t+t）%t 因为此题要的是正数解 这样写有时会输出0

首先我来回顾下欧几里德的几个定理，有助于理解这道题；

   定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使 d = a*x+ b*y。

   定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

   定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

对于ax+by=1;  即ax=1（mod b）      当且仅当gcd（a,b）!=1 的时候，无解！

#include <iostream>  
#include <cstdio>  
#include <cstring>  
#include <cmath>  
#include <vector>  
#include <string>  
#include <queue>  
#include <stack>  
#include <algorithm>  

#define INF 0x7fffffff  
#define EPS 1e-12  
#define MOD 1000000007  
#define PI 3.141592653579798  
#define N 100000  

using namespace std;  

typedef long long LL;  
typedef double DB;  

LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)  
{  
    if(b==0)  
    {  
        x=1;  
        y=0;  
        return a;  
    }  
    LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);  
    LL temp=x;  
    x=y;  
    y=temp-a/b*y;  
    return ans;  
}  

LL cal(LL a,LL b,LL c)  
{  
    LL x,y;  
    LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);  
    if(c%gcd!=0) return -1;  
    x*=c/gcd;  
    b/=gcd;  
    if(b<0) b=-b;  
    LL ans=x%b;  
    if(ans<=0) ans+=b;  
    return ans;  
}  

int main()  
{  
    LL a,b,t;  
    scanf("%lld",&t);  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%lld%lld",&a,&b);  
        LL ans=cal(a,b,1);  
        if(ans==-1) printf("Not Exist
");  
        else printf("%lld
",ans);  
    }  
    return 0;  
}