山区建小学
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题目描述
政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di(为正整数)，其中，0<i<m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学(设0<n≤m<500)。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。
输入
第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。
例如:
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。
输出
各村庄到最近学校的距离之和的最小值。
样例输入
10 2
3 1 3 1 1 1 1 1 3
样例输出
18
区间DP。f[n][m]表示1..n中建m个小学的最小花费。
一个结论：如果要在i..j中选一个点使所有点到这个点的总距离最小，这个点一定在中点位置。训练指南上有证明，其实很简单，反证法，假设不是中间的点，左移或右移一个点，会发现造价升高。
山区建小学不是《信息学奥赛一本通第5版》的例题，是noi官方题库的题目。
这题用动态规划来解决，这里需要一个辅助的数组dist，dist[i][j]表示在从i到j这一段区间建一所小学，i到j的村庄都到这个学校来上学的路程和。
分析：
这里采用之前讲到过的分析的方法来分析
状态表达：f[i][j]表示前i个村庄建j所学校，到里那个村庄最近的学校上学的路程和。
状态转移：
f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+s[k+1][i]);
在前k个村庄造j-1个学校的最小和 + k+1到i个学校造一个学校的最小和
在前
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; const int inf=99999999; int f[510][510]; int dis[510][510];//从i到j距离 int d[510]; int s[510][510]; //s[管辖区起点][管辖区终点]=这片辖区内建一个学校，区内村庄到学校的距离和 int n,m; int dist(int i,int j){ int x=0; int mid=(i+j)/2; for(int k=i;k<=j;k++) x+=dis[k][mid]; return x; } int main(){ scanf("%d%d",&m,&n); int i,j,x; for(i=2;i<=m;i++){//从2开始，方便求各村庄间距离 scanf("%d",&x); d[i]=d[i-1]+x; } // for(i=1;i<=m;i++) for(j=1;j<=m;j++){ if(i==j)dis[i][j]=0; else dis[i][j]=dis[j][i]=abs(d[j]-d[i]); }//初始化两两距离 // for(i=1;i<=m;i++) for(j=1;j<=m;j++) s[i][j]=dist(i,j); //计算一个管辖从i到j村庄的学校到这些村庄的距离和 // for(i=1;i<=m;i++) for(j=1;j<=m;j++) f[i][j]=inf; for(i=1;i<=m;i++)f[i][i]=0; for(i=1;i<=m;i++)f[i][1]=s[1][i];//只建一个学校的情况 //f初始化 /* //test for(i=1;i<=m;i++) for(j=1;j<=m;j++) printf("%d ",s[i][j]); */ for(i=2;i<=m;i++){//村庄 for(j=2;j<=min(i,n);j++){//学校 for(int k=j-1;k<=i-1;k++){//枚举已有的学校管辖的范围 if(i!=j)f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+s[k+1][i]); } } } printf("%d",f[m][n]); }