傅里叶变换 - 润新知

傅里叶变换

傅里叶变换

直接先上结论：傅里叶变换是这样一个函数，它在 $lambda$ 处的函数值 $widehat{f}(lambda)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $lambda$ 对应的基上的系数。至此我们就完成了傅里叶变换从空间角度的介绍。（这里的）

以及从知乎上看到最易懂的推导：

傅里叶变换, 就是在用一种特殊的正交基(正交函数)在对原函数做线性变换.
简单地说, 我们有一个n维向量a, 我们总可以找到一组n维正交基e1 e2 e3......, 使得
a = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 + ........................cn en
我们如果想知道这些系数分别是多少, 就可以分别在等式两边用每个正交基做内积, 因为我们知道
<ei, ej> = 0 if i!=j,
<ei, ej> = 1 if i==j

函数可以看成一个无穷维的向量, 所以如果想要把一个函数用"正交基"来线性表示,
我们就需要使用正交的函数, 像这样的正交函数有很多, 傅里叶所选用的, 是其中一种
$expleft( 2pi ik heta ight)$

所以此时的问题就变成了: 假如我想把一个函数表达成利用无穷多个像上式那样的东西的和
我所分配的系数分别该是多少呢?

也就是说, 求 $a_{k} left( k ight)$ 使得:
$fleft( x ight) = intop_{-infty}^{infty}a_{k}left( k ight) expleft( 2pi ik x ight) dk$
那么我们如何求得 $a_{k}$ 呢? 同样是利用正交属性去做内积, 我们知道, 对于任何一个给定的 $k$ , 有

$intop_{-infty}^{infty}expleft( -2pi ik'x ight) expleft( 2pi ik x ight) dx = deltaleft( k-k' ight)$

所以我们将等式两边同乘 $expleft( -2pi ik'x ight)$ , 并在对负无穷到无穷大做积分, 我们有:
$intop_{-infty}^{infty}fleft( x ight) expleft( -2pi ik'x ight)dx=intop_{-infty}^{infty}intop_{-infty}^{infty}a_{k}left( k ight) expleft( 2pi ik x ight) dk expleft( -2pi ik' x ight)dx$

此时, 交换积分次序并积分我们有
$intop_{-infty}^{infty}fleft( x ight) expleft( -2pi ik'x ight)dx=intop_{-infty}^{infty}a_{k}left( k ight) intop_{-infty}^{infty}expleft( 2pi ik x ight) expleft( -2pi ik' x ight)dx dk$
$=intop_{-infty}^{infty} a_kleft( k ight) deltaleft( k-k' ight) dk = a_kleft( k' ight)$
也就是说
$a_kleft( k' ight) = intop_{-infty}^{infty}fleft( x ight) expleft( -2pi ik'x ight)dx$
就是我们所要求的傅里叶变换的系数.

链接：https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/30157704
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原文地址：https://www.cnblogs.com/caffeaoto/p/8545372.html