• 扩展gcd codevs 1200 同余方程


    codevs 1200 同余方程

    2012年NOIP全国联赛提高组

     时间限制: 1 s
     空间限制: 128000 KB
     题目等级 : 钻石 Diamond
    题目描述 Description

    求关于 x 同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。 

    输入描述 Input Description

    输入只有一行,包含两个正整数 a, b,用 一个 空格隔开。 

    输出描述 Output Description

    输出只有一行包含一个正整数x0,即最小正整数解,输入数据保证一定有解。

    样例输入 Sample Input

    3 10 

    样例输出 Sample Output

    7

    数据范围及提示 Data Size & Hint

    【数据范围】
    对于 40%  的数据, 2 ≤b≤ 1,000 ;
    对于 60% 的数据, 2 ≤b≤ 50,000,000 
    对于 100%  的数据, 2 ≤a, b≤ 2,000,000,000

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    欧几里德定理 数论 大陆地区 NOIP全国联赛提高组 2012年
     1 /* ax ≡ 1 (mod b)就是ax=by+1,而且x,y都为整数,所以ax mod b==1,对于ax=by+1,用扩展gcd求解,再用找到合适的x输出即可*/
     2 #include<iostream>
     3 using namespace std;
     4 #include<cstdio>
     5 long long a,b;
     6 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y,long long &gcd)
     7 {
     8     if(b==0)
     9     {
    10       gcd=a;x=1;y=0;
    11       return;
    12     }
    13     exgcd(b,a%b,x,y,gcd);
    14     int t=x;
    15     x=y;
    16     y=t-(a/b)*y;
    17 }
    18 int main()
    19 {
    20     cin>>a>>b;
    21     long long gcd,x,y;
    22     exgcd(a,b,x,y,gcd);
    23     long long a0=a/gcd,b0=b/gcd;
    24     long long k=1/gcd;
    25     x*=k;y*=k;
    26     if(x<=0)
    27     {
    28         int i=1;
    29         while(1)
    30         {
    31             if(a*(x+i*b0)+b*(y-i*a0)==1)
    32             {
    33                 if(x+i*b0>0)
    34                 {
    35                     cout<<(x+i*b0)<<endl;
    36                     return 0;
    37                 }
    38             }
    39             i++;
    40         }
    41     }
    42     if(x>0)
    43     {
    44         int i=-1;
    45         while(1)
    46         {
    47             if(a*(x+i*b0)+b*(y-i*a0)==1)
    48             {
    49                 if(x+i*b0<0)
    50                 {
    51                     cout<<x<<endl;
    52                     return 0;
    53                 }
    54             }
    55             i--;
    56         }
    57     }
    58     return 0;
    59  } 
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