一本通 动态规划经典例题 -练习

1.对抗赛

【问题描述】

程序设计对抗赛设有N（0<N<=50）个价值互不相同的奖品，每个奖品的价值分别为S1,S2,S3，...,Sn（均为不超过100的正整数）。现将他们分给甲乙两队，为了使得甲乙两队得到相同价值的奖品，必须将这N个奖品分成价值相同的两组。

编成要求：对给定N及N个奖品的价值，求出将这N个奖品分成价值相同的两组，共有多少种分发？

例如N=5，S1，S2，S3...,Sn分别为1,3,5,8,9

则可分为{1,3,9}与{5,8}，仅有一种分法；

例如N=7，S1，S2，S3...,Sn分别为1,2,3,4,5,6,7

则可分为：

{1,6,7}与{2,3,4,5}

{2,5,7}与{1,3,4,5}

{3,4,7}与{1,2,5,6}

{1,2,4,7}与{3,5,6}

有4种分法。

【输入格式】

N

S1，S2，S3，...,Sn.

【输出格式】

共有多少种分法，无解则输出0；

【输入样例】

7

1 2 3 4 5 6 7

【输出样例】

4

/*求方案总数的01背包，就是把max或者min改为求sum即可，注意f[0]=1--初始化*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
int f[5001],n;
int val[51];
int main()
{
    int sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&val[i]);
        sum+=val[i];
    }
    sum/=2;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=sum;j>=val[i];--j)
      f[j]+=f[j-val[i]];
    cout<<f[sum]/2<<endl;/*注意一定要/2输出，因为方案包括了分组的另一半*/
    return 0;
}

2.演讲安排

演讲大厅安排：

有一个演讲大厅需要我们管理，演讲者们事先定好了需要演讲的起始时间和中止时间。我们想让演讲大厅得到最大可能的使用。我们要接受一些预定而拒绝其他的预定，目标是使演讲者使用大厅的时间最长。假设在某一时刻一个演讲结束，另一个演讲就可以立即开始。

问题求解：

1、  从文本文件HALL.IN中读入演讲者的申请。

2、  计算演讲大厅最大可能的使用时间。

3、  将结果写入文件HALL.OUT。

输入文件（HALL.IN）：

输入文件HALL.IN第一行为一个整数N，N≤5000，表示申请的数目。

以下n行每行包含两个整数p，k，1 ≤ p < k ≤ 10000，表示这个申请的起始时间和中止时间。

输出文件（HALL.OUT）：

输出文件HALL.OUT包含一个整数，表示大厅最大可能的使用时间。

输入输出示例：

HALL.IN

12

1 2

3 5

0 4

6 8

7 13

4 6

9 10

9 12

11 14

15 19

14 16

18 20

HALL.OUT

16

 注意：可以按照开始排序，也可以按照尾排序，结果是相同的

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<algorithm>
struct Yj{
    int p,k;
    bool operator<(const Yj &x)const {
    return k<x.k;
    }/*重载运算符的使用，左边的结构体的k小于右边的结构体的k，左边是指这个Yj不加x.,x.k是指后一个*/
}; 
Yj yj[5010];
int n;
long long int dp[5010];
void input()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%d%d",&yj[i].p,&yj[i].k);
    sort(yj+1,yj+n+1);
}
void DP()
{
    /*注意：不能初始化f[1]因为这可能不是最优解，要通过循环来找*/
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=0;j<=i-1;++j)
      if(yj[i].p>=yj[j].k)/*>=是因为 假设在某一时刻一个演讲结束，另一个演讲就可以立即开始。*/
      dp[i]=max(dp[i],dp[j]+yj[i].k-yj[i].p);
}
int main()
{
    freopen("hall.in","r",stdin);
//    freopen("hall.out","w",stdout);
    input();
    DP();
    cout<<dp[n]<<endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

 3.筷子

★☆   输入文件：chop.in   输出文件：chop.out   简单对比
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

A先生有很多双筷子。确切的说应该是很多根，因为筷子的长度不一，很难判断出哪两根是一双的。这天，A先生家里来了K个客人，A先生留下他们吃晚饭。加上A先生，A夫人和他们的孩子小A，共K+3个人。每人需要用一双筷子。A先生只好清理了一下筷子，共N根，长度为T1,T2,T3,……,TN.现在他想用这些筷子组合成K+3双，使每双的筷子长度差的平方和最小。(怎么不是和最小？？这要去问A先生了，呵呵)

输入

输入文件共有两行，第一行为两个用空格隔开的整数，表示 N,K(1≤N≤100, 0<K<50)，第二行共有N个用空格隔开的整数，为Ti.每个整数为1～50之间的数。

输出

输出文件仅一行。如果凑不齐 K+3双，输出-1，否则输出长度差平方和的最小值。

样例

chop.in

10 1

1 1 2 3 3 3 4 6 10 20

chop.out

5

说明

第一双 1 1

第二双 2 3

第三双 3 3

第四双 4 6

(1-1)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-6)^2=5

/*之前错的原因：没有加sort函数，那么从区间i--j挑选一双筷子，虽然是该区间最好，但是对于整体不一定*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 101
int len[N],p[N][N],f[N][N],n,k;
void input()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%d",&len[i]);
    k+=3;
}
int main()
{
    freopen("chop.in","r",stdin);
    freopen("chop.out","w",stdout);
    input();
    if(n<2*k)
    {
        cout<<-1;
        return 0;
    }
    sort(len+1,len+n+1);
    memset(p,99,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
    p[i][i+1]=(len[i]-len[i+1])*(len[i]-len[i+1]);
    for(int i=1;i<=n-2;++i)
      for(int j=i+2;j<=n;++j)
      {
          int minn=1667457891;
          for(int l=i+1;l<=j;++l)
          if((len[i]-len[l])*(len[i]-len[l])<minn)
          minn=(len[i]-len[l])*(len[i]-len[l]);
          p[i][j]=minn;
      }
    memset(f,99,sizeof(f));
    for(int i=2;i<=n;++i)
    f[i][1]=p[1][i];
    for(int j=2;j<=k;++j)
      for(int i=2*j;i<=n;++i)
        for(int t=2*(j-1);t<=i-2;++t)
        f[i][j]=min(f[t][j-1]+p[t+1][i],f[i][j]);
    cout<<f[n][k]<<endl;
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
 } 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[101],f[101][101];
int n,k;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    k=k+3;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);//将筷子按长度从短到长排列
    if (k*2>n) printf("-1
");
    else
      {
        for(int i=0;i<=n;i++)
          {
            f[i][0]=0;
            for (int j=1;j<=k;j++)
              f[i][j]=99999999;
            }
        for (int i=2;i<=n;i++)
          for (int j=1;j<=k;j++)//前i根筷子分为j双时的长度差的最小平方和
            f[i][j]=min(f[i-2][j-1]+(a[i]-a[i-1])*(a[i]-a[i-1]),f[i-1][j]);
    printf("%d",f[n][k]);
      }
   return 0;
}

4. 花店橱窗布置

 题目描述 Description

某花店现有F束花，每一束花的品种都不一样，同时至少有同样数量的花瓶，被按顺序摆成一行，花瓶的位置是固定的，从左到右按1到V顺序编号，V是花瓶的数目。花束可以移动，并且每束花用1到F的整数标识。如果I < J，则花束I必须放在花束J左边的花瓶中。例如，假设杜鹃花的标识数为1，秋海棠的标识数为2，康乃馨的标识数为3，所有花束在放入花瓶时必须保持其标识数的顺序，即杜鹃花必须放在秋海棠左边的花瓶中，秋海棠必须放在康乃馨左边的花瓶中。如果花瓶的数目大于花束的数目，则多余的花瓶必须空，即每个花瓶只能放一束花。
每个花瓶的形状和颜色也不相同，因此，当各个花瓶中放入不同的花束时，会产生不同的美学效果，并以美学值（一个整数）来表示，空置花瓶的美学值为0。在上述的例子中，花瓶与花束的不同搭配所具有的美学值，可以用如下的表格来表示：
花瓶1 花瓶2 花瓶3 花瓶4 花瓶5
杜鹃花 7 23 -5 -24 16
秋海棠 5 21 -4 10 23
康乃馨 -21 5 -4 -20 20
根据表格，杜鹃花放在花瓶2中，会显得非常好看，但若放在花瓶4中，则显得很难看。
为了取得最佳的美学效果，必须在保持花束顺序的前提下，使花的摆放取得最大的美学值，如果具有最大美学值的摆放方式不止一种，则输出任何一种方案即可。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：
输入文件的第一行是两个整数F和V，分别为花束数和花瓶数（1≤F≤100，F≤V≤100）。接下来是矩阵Aij,它有I行，每行J个整数，Aij表示花束I摆放在花瓶J中的美学值。
输出格式：
输出文件的第一行是一个整数，为最大的美学值；接下来有F行，每行两个数，为那束花放入那个花瓶的编号。

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例： 在线IDE

3 5
7 23 –5 –24 16
5 21 –4 10 23
-21 5 –4 –20 20

输出样例：

53
2 4 5

/*线性DP*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
int dp[101][101],a[101][101];
int f,v,ping[101];
bool flag[101];int sum;
void input()
{
    int maxx=-9999999;
    scanf("%d%d",&f,&v);
    for(int i=1;i<=f;++i)
      for(int j=1;j<=v;++j)
      {
          scanf("%d",&a[i][j]);
          if(i==1)
          {
              if(a[i][j]>maxx)
              maxx=a[i][j];
              dp[i][j]=maxx;
          }
      }
}
void search(int,int,int);
void DP()
{
    for(int i=2;i<=f;++i)
      for(int j=i;j<=v;++j)
        {
            int maxx=-9999999;
            for(int t=i-1;t<=j-1;++t)
            if(dp[i-1][t]+a[i][t+1]>maxx)
            {
                maxx=dp[i-1][t]+a[i][t+1];/*把i-1朵花放在t瓶中，把第i朵花放在t+1瓶中的最大值，后面的i不放在t+1瓶中会递推过去*/
            
            }
            dp[i][j]=maxx;
            
        }
    //cout<<dp[f][v]<<endl;
    printf("%d
",dp[f][v]);
    sum=dp[f][v];
    search(sum,f,v);    
}
void search(int b,int c,int d)/*寻找方案的过程，也就是逆序最大值的过程*/
{
    if(c==0) return ;
    for(int i=c-1;i<=d-1;++i)
    {
        if(dp[c-1][i]+a[c][i+1]==b)
        {
            d=i+1;
            break;
        }
    }
    search(b-a[c][d],c-1,d-1);
    printf("%d ",d);
}
int main()
{
    input();
    DP();
    return 0;
}

 5.友好城市

Problem Description
Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。北岸的每个城市有
且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。每对友好城市都向政府申请在河上开
辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，
以避免事故。编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，
被批准的申请尽量多。
Input
输入的第一行为T，表示测试示例的个数。对于每组测试数据，
第1行，一个整数N(1<=N<=5000)，表示城市数。
第2行到第n+1行，每行两个整数，中间用1个空格隔开，分别表示南岸和北岸的一对友好城市的坐标。(0<=xi<=10000)
Output
对于每组测试数据，仅一行，输出一个整数，表示政府所能批准的最多申请数。
Sample Input
1
7
22 4
2 6
10 3
15 12
9 8
17 17
4 2
Sample Output
4

/*改变了的线段覆盖*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 5001
#include<cstring>
int t,n;
struct City{
    int x,y;
    int count;
    bool operator<(const City &p)
    const {return y<p.y;}
}; 
City city[N];
void input()
{
    memset(city,0,sizeof(city));/*memset也可以给结构体初始化*/
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&city[i].x,&city[i].y);
        if(city[i].x>city[i].y)
        swap(city[i].x,city[i].y);
    }
    sort(city+1,city+n+1);
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        input();
        for(int i=1;i<=n;++i)
          for(int j=0;j<=i-1;++j)
          if(city[i].x>city[j].y)
          city[i].count=max(city[j].count+1,city[i].count);
        int maxx=-1;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        if(city[i].count>maxx)/*因为不知道到底哪个城市是最后一个可以建设大桥的，所以搜索一遍*/
        maxx=city[i].count;
        printf("%d
",maxx);
    }
    return 0;
}

 6.护卫队（cojs）

 题目描述 Description

护卫车队在一条单行的街道前排成一队，前面河上是一座单行的桥。因为街道是一条单行道，所以任何车辆都不能超车。桥能承受一个给定的最大承载量。为了控制桥上的交通，桥两边各站一个指挥员。护卫车队被分成几个组，每组中的车辆都能同时通过该桥。当一组车队达到了桥的另一端，该端的指挥员就用电话通知另一端的指挥员，这样下一组车队才能开始通过该桥。每辆车的重量是已知的。任何一组车队的重量之和不能超过桥的最大承重量。被分在同一组的每一辆车都以其最快的速度通过该桥。一组车队通过该桥的时间是用该车队中速度最慢的车通过该桥所需的时间来表示的。问题要求计算出全部护卫车队通过该桥所需的最短时间值。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：
输入文件第一行包含三个正整数（用空格隔开），第一个整数表示该桥所能承受的最大载重量（用吨表示）；第二个整数表示该桥长度（用千米表示）；第三个整数表示该护卫队中车辆的总数（n<1000）。接下来的几行中，每行包含两个正整数W和S（用空格隔开），W表示该车的重量（用吨表示），S表示该车过桥能达到的最快速度（用千米/小时表示）。车子的重量和速度是按车子排队等候时的顺序给出的。
输出格式：
输出文件应该是一个实数，四舍五入精确到小数点后1位，表示整个护卫车队通过该桥所需的最短时间（用分钟表示）。

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例： 在线IDE

100 5 10
40 25
50 20
50 20
70 10
12 50
9 70
49 30
38 25
27 50
19 70

输出样例：
75.0

错误思路：

我是想把车队分为多少份作为一个状态，结果题目中的大数据就爆了数组了，循环的时间也很长

/*超时原因：未找到最好的DP
   错误原因：中间值溢出，max不够大等等
*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 1001
#define INF 21474836472147483647
long long int W,L,n;
struct Car{
long long int w;
double t,s;
};
long long int sum[N];
Car car[N];
double dp[N][N];
double p[N][N];
void input()
{
    cin>>W>>L>>n;
    //scanf("%d%d%d",&W,&L,&n);
    int i;
    for(i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d%lf",&car[i].w,&car[i].s);
        car[i].t=L/car[i].s*60;
        sum[i]=sum[i-1]+car[i].w;
    }
}
void dop()
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=i;j<=n;++j)
        {
            if(sum[j]-sum[i-1]<=W)
            p[i][j]=max(car[j].t,p[i][j-1]);
            else {
                for(int l=j;l<=n;++l)
                p[i][l]=INF;
                break;
                
            }
        }
}
int k;
void DP()
{
    
    k=(sum[n]/W)*2;
    if(k>n)
    k=n;
    int i,j,l;                                
    memset(dp,127,sizeof(dp));
    for(i=1;i<=n;++i)
        dp[i][0]=dp[0][i]=0;
    for(i=1;i<=n;++i)
    dp[i][1]=p[1][i];
    for(j=2;j<=k;++j)
        for(i=j;i<=n;++i)
            for(l=j-1;l<=i-1;++l)
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[l][j-1]+p[l+1][i]);

}
double MIN=21474836472147483647;
int main()
{
freopen("convoy.in","r",stdin);
freopen("convoy.out","w",stdout);
    input();
    dop();
    DP();
    int i;
    for(i=1;i<=k;++i)
    MIN=min(MIN,dp[n][i]);
    printf("%0.1f
",MIN);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
    return 0;
}

/*正确简洁的思路：f[n]以每个车作为划分点，每个车可以单独作为一个车队，也可以与之前形成的最后一个车队（多种情况）组合*/
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1001
double f[N];
double vmin[N][N];
long long int sum[N];
struct Car {
    long long int w;
    double s;
};
long long int w,l,n;
Car car[N];
void input()
{
    cin>>w>>l>>n;
    //memset(vmin,99,sizeof(vmin));
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>car[i].w>>car[i].s;
        vmin[i][i]=car[i].s;
        sum[i]=sum[i-1]+car[i].w;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
      for(int j=i+1;j<=n;++j)
      if(sum[j]-sum[i-1]<=w)/*i--j这个区间内速度最小的车的速度*/
      vmin[i][j]=min(car[j].s,vmin[i][j-1]);
    
}
void DP()
{
      f[1]=l/car[1].s;//边界 
      for(int i=2;i<=n;++i)
         {
             f[i]=f[i-1]+l/car[i].s;//先把第i个单独作为一个车队 
             for(int j=1;j<=i;++j)
             if(sum[i]-sum[j]<=w)
             f[i]=min(f[i],f[j-1]+l/vmin[j][i]); /*注意要确保更新的量可以使前i个车作为一个车队，就是f[0]+...*/
         }
      printf("%.1f
",f[n]*60);  /*题目要求输出分钟*/
}
int main()
{
    freopen("convoy.in","r",stdin);
    freopen("convoy.out","w",stdout);
    input();
    DP();
    fclose(stdin);
   fclose(stdout);
    return 0;
}

7.P2196 挖地雷

 

 题目背景 Background

NOIp1996提高组第三题

 题目描述 Description

在一个地图上有N个地窖（N<=20），每个地窖中埋有一定数量的地雷。同时，给出地窖之间的连接路径。当地窖及其连接的数据给出之后，某人可以从任一处开始挖地雷，然后可以沿着指出的连接往下挖（仅能选择一条路径），当无连接时挖地雷工作结束。设计一个挖地雷的方案，使某人能挖到最多的地雷。

 输入输出格式 Input/output

输入格式：
输入文件mine.in有若干行。
第1行只有一个数字，表示地窖的个数N。
第2行有N个数，分别表示每个地窖中的地雷个数。
第3行至第N+1行表示地窖之间的连接情况：
第3行有n-1个数（0或1），表示第一个地窖至第2个、第3个、…、第n个地窖有否路径连接。如第3行为1 1 0 0 0 … 0，则表示第1个地窖至第2个地窖有路径，至第3个地窖有路径，至第4个地窖、第5个、…、第n个地窖没有路径。
第4行有n-2个数，表示第二个地窖至第3个、第4个、…、第n个地窖有否路径连接。
… …
第n+1行有1个数，表示第n-1个地窖至第n个地窖有否路径连接。（为0表示没有路径，为1表示有路径）。
输出格式：
输出文件wdl.out有两行数据。
第一行表示挖得最多地雷时的挖地雷的顺序，各地窖序号间以一个空格分隔，不得有多余的空格。
第二行只有一个数，表示能挖到的最多地雷数。

 输入输出样例 Sample input/output

样例测试点#1

输入样例： 在线IDE

5
10 8 4 7 6
1 1 1 0
0 0 0
1 1
1

输出样例：

1 3 4 5
27

 

/*题目中的样例说明：只能从编号大的点向编号小的点挖，这是题目中没有说的，
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#include<cstring>
#define N 21
int flag[N][N];
int n,num[N];
int f[N],pre[N],path;
void input()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&num[i]);
        f[i]=num[i];
    }
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
      for(int j=1+i;j<=n;++j)
      scanf("%d",&flag[i][j]);/*把路径都设为单向的*/
}
void DP()
{/*类似于数塔的自下向上的推导，并且记录路径*/
    for(int i=n-1;i>=1;--i)
    {
        int maxx=0;
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            if(f[j]>maxx&&flag[i][j])
            {
                maxx=f[j];
                path=j;
            }
        }
        f[i]+=maxx;
        pre[i]=path;
    }
}
void print()
{
    int p;
    int maxx=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    if(f[i]>maxx)
    {
        maxx=f[i];
        p=i;
    }
    while(p)
    {
        printf("%d ",p);
        p=pre[p];
    }
    printf("
%d",maxx);
    return ;
}
int main()
{
    input();
    DP();
    print();
    return 0;
}