洛谷P3628 [APIO2010]特别行动队（斜率优化）

传送门

先写出转移方程$$dp[i]=max{dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c}$$

假设$j$比$k$更优，则有$$dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c>dp[k]+a*(sum[i]-sum[k])^2+b*(sum[i]-sum[k])+c$$

展开，并消去同类项之后得$$dp[j]-2*a*sum[i]*sum[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j]>dp[k]-2*a*sum[i]*sum[k]+a*sum[k]^2-b*sum[k]$$

移项，得$$(dp[j]+a*sum[j]^2-b*sum[j])-(dp[k]+a*sum[k]^2-b*sum[k])>2*a*sum[i]*sum[j]-2*a*sum[i]*sum[k]$$

设$Y[i]=dp[i]+a*sum[i]^2-b*sum[i],X[i]=sum[i]$

则有$$Y[j]-Y[k]>2*a*sum[i]*X[j]-2*a*sum[i]*X[k]$$

$$frac{Y[j]-Y[k]}{X[j]-X[k]}>2*a*sum[i]$$

那么就是要我们维护一个上凸包，简单来说就是把原来维护下凸包的那些东西给反过来就好了（ps：我今天刚知道原来凸包还能是上凸的……我太菜了……）

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=1000005;
int sum[N],q[N],h,t,n;ll dp[N],a,b,c;
inline ll Y(int i){return dp[i]+a*sum[i]*sum[i]-b*sum[i];}
inline double slope(int j,int k){return 1.0*(Y(j)-Y(k))/(sum[j]-sum[k]);}
inline ll check(int x){return a*x*x+b*x+c;}
int main(){
    //freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),a=read(),b=read(),c=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=read()+sum[i-1];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int k=2*a*sum[i];
        while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])>k) ++h;
        dp[i]=dp[q[h]]+check(sum[i]-sum[q[h]]);
        while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])<slope(q[t-1],i)) --t;q[++t]=i;
    }
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}