题目背景
小B的班级数学学到多项式乘法了，于是小B给大家出了个问题：用编程序来解决多项式乘法的问题。
题目描述
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。
工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。
突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。
由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。
对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。
假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：
- 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
- 工厂i目前已有成品数量Pi;
- 在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
输出格式：
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
输入输出样例
说明
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。
如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57，总费用67，不如前者优。
对于20%的数据， N ≤500；
对于40%的数据， N ≤10000；
对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
题解
妈耶……原来这就是斜率优化么……先膜一波AC666大佬
考虑dp$$dp_i=min_{0leq j<i}{dp_j+x_i*sum _{l=j+1}^i p_l-sum_{l=j+1}^i p_l*x_l }+c_i$$
设$sump_i=sum _{j=1}^ip_i$，$sum_i=sum _{j=1}^i p_i*x_i$
那么原始可以化简为$$dp_i=min_{0leq j<i}{dp_j+x_i(sump_i-sump_j)-(sum_i-sum_j) }+c_i$$
然后假设$j$比$k$更优，且有$j>k$，则有$$dp_j+x_i(sump_i-sump_j)-(sum_i-sum_j)<dp_k+x_i(sump_i-sump_k)-(sum_i-sum_k)$$
然后化简得$$dp_j-x_i*sump_j+sum_j<dp_k-x_i*sump_k+sum_k$$
$$(dp_j+sum_j)-(dp_k+sum_k)<x_i*sump_j-x_i*sump_k$$
$$frac{(dp_j+sum_j)-(dp_k+sum_k)}{sump_j-sump_k}<x_i$$
然后令$Y_i=dp_i-sum_i,X_i=sump_i$
那么$$frac{Y_j-Y_k}{X_j-X_k}<x_i$$
然后直接用斜率优化即可
1 //minamoto 2 #include<iostream> 3 #include<cstdio> 4 #define ll long long 5 using namespace std; 6 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) 7 char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; 8 inline int read(){ 9 #define num ch-'0' 10 char ch;bool flag=0;int res; 11 while(!isdigit(ch=getc())) 12 (ch=='-')&&(flag=true); 13 for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num); 14 (flag)&&(res=-res); 15 #undef num 16 return res; 17 } 18 const int N=1e6+5; 19 ll sump[N],sum[N],dp[N]; 20 int n,x[N],p[N],c[N],q[N],h,t; 21 inline ll Y(int i){ 22 return dp[i]+sum[i]; 23 } 24 inline ll X(int i){ 25 return sump[i]; 26 } 27 inline double slope(int i,int j){ 28 return (double)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j)); 29 } 30 int main(){ 31 n=read(); 32 for(int i=1;i<=n;++i){ 33 x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read(); 34 sump[i]=sump[i-1]+p[i]; 35 sum[i]=sum[i-1]+1ll*p[i]*x[i]; 36 } 37 for(int i=1;i<=n;++i){ 38 while(h<t&&slope(q[h],q[h+1])<x[i]) ++h; 39 int j=q[h];dp[i]=dp[j]+(sump[i]-sump[j])*x[i]-sum[i]+sum[j]+c[i]; 40 while(h<t&&slope(q[t],q[t-1])>slope(q[t-1],i)) --t;q[++t]=i; 41 } 42 printf("%lld ",dp[n]); 43 return 0; 44 }