AtCoder Grand Contest 030题解

昨天随便找了个(AGC)肝一肝，结果发现自己啥都不会……再看了看当初的比赛结果人家全都是俩小时近乎(AK)的……

(A-Poisonous Cookies)

cout<<b+min(c,a+b+1);

(B - Tree Burning)

不难发现中间肯定有一个断点，满足它后面的全都是顺时针走过去的，它前面的全是逆时针走过去的。而且第一次走了之后，之后每一次都反向肯定最优。那么我们枚举一下断点，前缀和优化就好了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=2e5+5;
int n,L,a[N];ll res,sum[N],suf[N];
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	L=read(),n=read();
	fp(i,1,n)a[i]=read(),sum[i]=sum[i-1]+(a[i]<<1);
	fd(i,n,1)suf[i]=suf[i+1]+((L-a[i])<<1);
	res=max(a[n],L-a[1]);
	fp(i,1,n-1){
		R int k=min(i,n-i);R ll tmp=sum[i]-sum[i-k]+suf[i+1]-suf[i+1+k];
		cmax(res,tmp-min(a[i],L-a[i+1]));
		i>k?cmax(res,tmp+(a[i-k]<<1)-a[i]):0;
		n-i>k?cmax(res,tmp+((L-a[i+1+k])<<1)-(L-a[i+1])):0;
//		printf("%d %lld
",i,tmp);
	}
	printf("%lld
",res);
	return 0;
}

(C - Coloring Torus)

首先有个构造方法，行列标号为(0)到(n-1)之后把所有(i+j)模(n)同余的格子标为同一种颜色（即每一条副对角线上填同一种颜色），易证显然合法

然而这样的话最多只能填(500)个，不够。我们考虑一条副对角线上填两种颜色，两种颜色交替，然而因为一条副对角线上的元素为(n)个，那么此时(n)必须为偶数才能合法。顺便注意可能不一定填满，也就是说需要某些副对角线上两种颜色，某些一种颜色，判一下就好了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=' ';
}
const int N=505;
int n,k,c,p,mp[N][N];
void solve(int p,int c){
	for(R int i=0,j=(n+p-i)%n;i<n;++i,j=(n+p-i)%n)
		mp[i][j]=c+(i&1);
}
void dd(int p,int c){
	for(R int i=0,j=(n+p-i)%n;i<n;++i,j=(n+p-i)%n)
		mp[i][j]=c;
}
int main(){
	scanf("%d",&k),n=(k+1)>>1,n+=(n&1);
	if(k==1)return puts("1
1
"),0;
	p=0,c=1;
	while(n-p<k-c+1)solve(p,c),++p,++c,++c;
	while(p<n&&c<=k)dd(p,c),++p,++c;
	print(n),sr[C]='
';
	fp(i,0,n-1){
		fp(j,0,n-1)print(mp[i][j]);
		sr[C]='
';
	}
	return Ot(),0;
}

(D - Inversion Sum)

我们枚举数对(i,j(i<j))，此时我们需要求出(q)次之后(a_i)能和(a_j)构成逆序对的方案数有多少种。那么所有数对((i,j))的方案数加起来就是答案了

以(a_x>a_y)为例，那么我们需要(q)次转移之后(x)排在(y)的前面。我们设(f_{t,i,j})表示(t)次转移之后(a_x)在(i)位置，(a_y)在(j)位置的方案数，初值为(f_{0,x,y}=1)，其余全为(f_{0,i,j})全为(0)。转移为（下面转移中这个(x,y)指的是第(t)次可以交换的两个数(x,y)）

[f_{t,i,j}=2f_{t-1,i,j}(i eq x and j eq y) ]

[f_{t,x,j}=f_{t,y,j}=f_{t-1,x,j}+f_{t-1,y,j} ]

[f_{t,i,x}=f_{t,i,y}=f_{t-1,i,x}+f_{t-1,i,y} ]

[f_{t,x,y}=f_{t,y,x}=f_{t-1,x,y}+f_{t-1,y,x} ]

最终答案为(sum _{i<j}f_{q,i,j})

发现转移一层需要修改的状态是(O(n))的，其它打个(tag)就行，所以转移的总复杂度就是(O(n^2))，算上枚举点对的话总复杂度是(O(n^4))

让我们看看能不能快速对一个点对求出答案……一次(dp)的本质相当于是求出((0,x,y))这个点到((q,i,j))这个点的路径条数，那么我们可以倒过来，求出((q,i,j))这个点到((0,x,y))的路径条数，只要初始时将所有(f_{q,i,j}(i<j))设为(1)，那么倒着推一遍之后(f_{0,x,y})代表的就是到((x,y))的路径条数，这样的话一遍递推就行了

然后还要考虑(i>j)的情况，那么再递推一遍就行了

总复杂度为(O(n^2))

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=3005,P=1e9+7,inv2=500000004;
inline void Add(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
struct node{int x,y;}p[N];
int f[N][N],g[2][N],ans[2][N][N],a[N];
int n,q,res;
void solve(int pos){
	int tag=1;
	fd(t,q,1){
		tag=mul(tag,2);
		int x=p[t].x,y=p[t].y;
		fp(i,1,n)g[0][i]=g[1][i]=0;
		fp(i,1,n)g[0][i]=add(f[x][i],f[y][i]),g[1][i]=add(f[i][x],f[i][y]);
		int c=f[x][y],d=f[y][x];
		fp(i,1,n)f[x][i]=f[y][i]=mul(g[0][i],inv2),f[i][x]=f[i][y]=mul(g[1][i],inv2);
		f[x][y]=f[y][x]=mul(add(c,d),inv2),f[x][x]=f[y][y]=0;
	}
	fp(i,1,n)fp(j,1,n)ans[pos][i][j]=mul(f[i][j],tag);
}
void init(){
	fp(i,1,n)fp(j,1,n)f[i][j]=0;
	fp(i,1,n)fp(j,i+1,n)f[i][j]=1;
	solve(0);
	fp(i,1,n)fp(j,1,n)f[i][j]=0;
	fp(i,1,n)fp(j,1,i-1)f[i][j]=1;
	solve(1);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),q=read();
	fp(i,1,n)a[i]=read();
	fp(i,1,q)p[i].x=read(),p[i].y=read();
	init();
	fp(i,1,n)fp(j,i+1,n)Add(res,a[i]==a[j]?0:a[i]>a[j]?ans[0][i][j]:ans[1][i][j]);
	printf("%d
",res);
	return 0;
}

(E - Less than 3)

不会了……太神仙了……

引用一下官方题解的图

上面的图的意思就是，我们在(01)之间连一条红线，在(10)之间连一条蓝线，那么一次操作如果不在边界上只会导致线的移动，如果是在边界上那么可能会导致多出一条线。而且易发现红线蓝线必定交替出现

我们先在左右两边无限红蓝红蓝延伸下去，那么我们的操作的目的就是使(s,t)的红线蓝线一一对应，一组对应边需要花费的次数恰好就是它们之间的距离

那么我们枚举一下(s,t)中那几条红线一一对应就行了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
int read(char *s){
	R int len=0;R char ch;while(((ch=getc())>'9'||ch<'0'));
	for(s[++len]=ch;(ch=getc())>='0'&&ch<='9';s[++len]=ch);
	return s[len+1]='',len;
}
const int N=10005;
char s[N],t[N];int a[N],b[N],q[N],st[N],h,top,res;
int n,m;
void calc(){
	top=0,h=0;
	fp(i,1,n)st[++top]=0;
	fp(i,1,n-1)!b[i]&&b[i+1]?st[++top]=i:0;
	fp(i,1,n)st[++top]=n;
	fp(i,1,n-1)!a[i]&&a[i+1]?q[++h]=i:0;
	int mn=0x3f3f3f3f,now;
	fp(i,1,top-n+1){
		now=0;
		fp(j,1,i-1)if(st[j])now+=st[j];
		fp(j,0,h-1)now+=abs(q[j+1]-st[i+j]);
		for(R int j=h;st[i+j]!=n;++j)now+=n-st[i+j];
		cmin(mn,now);
	}
	res+=mn;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),read(s),read(t);
	fp(i,1,n)a[i]=s[i]-'0',b[i]=t[i]-'0';
	if(n==1&&a[1]!=b[1])return puts("1"),0;
	if(n==2&&a[1]!=b[1]&&a[1]==a[2]&&b[1]==b[2])return puts("2"),0;
	calc();
	fp(i,1,n)a[i]^=1,b[i]^=1;
	calc();
	printf("%d
",res);
	return 0;
}

(F - Permutation and Minimum)

还是不会……

如果有一对全都有数那么不影响答案不考虑，以及设全为(-1)的对数为(cnt)，最终方案里这些可以任意互换所以答案要乘上(cnt!)

正着推啥也推不出来那么我们倒着推，设(f_{i,j,k})表示已经填了所有小于等于(i)的数，其中有(j)个在数列中的数未匹配，(k)个不在数列中的数未匹配，转移可以看代码，注意如果匹配一个出现过的数有(j)种匹配方法

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
int read(char *s){
	R int len=0;R char ch;while(((ch=getc())>'9'||ch<'0'));
	for(s[++len]=ch;(ch=getc())>='0'&&ch<='9';s[++len]=ch);
	return s[len+1]='',len;
}
const int N=1005,P=1e9+7;
inline void Add(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
bool vis[N],nt[N];int a[N],q[N],f[605][305][305];
int n,m,t,cnt,ans;
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();
	fp(i,1,n<<1){
		a[i]=read(),a[i]!=-1?vis[a[i]]=1:0;
		if(i&1^1){
			a[i]==-1&&a[i-1]==-1?++cnt:0;
			a[i]!=-1&&a[i-1]!=-1?nt[a[i]]=nt[a[i-1]]=1:0;
		}
	}
	fp(i,1,n<<1)!nt[i]?(vis[i]?q[++t]=1:q[++t]=0):0;
	n=t;
	f[n][0][0]=1;
	fd(i,n,1){
		fp(j,0,n>>1)fp(k,0,n>>1)if(f[i][j][k]){
			R int v=f[i][j][k];
			if(q[i]){
				Add(f[i-1][j+1][k],v);
				k?(Add(f[i-1][j][k-1],v),0):0;
			}else{
				Add(f[i-1][j][k+1],v);
				k?(Add(f[i-1][j][k-1],v),0):0;
				j?(Add(f[i-1][j-1][k],mul(v,j)),0):0;
			}
		}
	}
	ans=f[0][0][0];
	fp(i,2,cnt)ans=mul(ans,i);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}