• P4389 付公主的背包


    传送门

    还是搞不明白生成函数是什么东西……

    首先设对于体积为(v)的物品,它的生成函数为(f(x)=sum_{igeq 0} x^{vi}),那么答案的生成函数就是所有的物品的生成函数的乘积,复杂度为(O(nmlog n))

    于是考虑把所有生成函数取(ln)相加再(exp)回去,设(g(x)=ln(f(x))),因为有(f(x)=frac{1}{1-x^v})
    所以$$g'(x)=frac{f'(x)}{f(x)}$$

    [g'(x)=(1-x^v)f'(x) ]

    [g'(x)=(1-x^v)sum_{igeq 0}vix^{vi-1} ]

    [g'(x)=sum_{igeq0}v(i-(i-1))x^{vi-1} ]

    [g'(x)=sum_{igeq0}vx^{vi-1} ]

    然后积分$$g(x)=sum_{i geq 1} frac{1}{i}x^{vi}$$
    然后用多项式(exp)求出(f)就可以了

    //minamoto
    #include<bits/stdc++.h>
    #define R register
    #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
    #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
    #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
    using namespace std;
    char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
    inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
    int read(){
        R int res,f=1;R char ch;
        while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
        for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
        return res*f;
    }
    char sr[1<<21],z[20];int K=-1,Z=0;
    inline void Ot(){fwrite(sr,1,K+1,stdout),K=-1;}
    void print(R int x){
        if(K>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++K]='-',x=-x;
        while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
        while(sr[++K]=z[Z],--Z);sr[++K]='
    ';
    }
    const int N=5e5+5,P=998244353,Gi=332748118;
    inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
    inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
    inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
    int ksm(R int x,R int y){
    	R int res=1;
    	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    	return res;
    }
    int r[N],O[N],A[N],B[N],C[N],D[N],F[N],G[N],H[N];
    int n,m,x,cnt[N];
    void NTT(int *A,int ty,int len){
    	int lim=1,l=0;while(lim<len)lim<<=1,++l;
    	fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    	fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
    	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
    		int I=(mid<<1),Wn=ksm(ty==1?3:Gi,(P-1)/I);O[0]=1;
    		fp(i,1,mid-1)O[i]=mul(O[i-1],Wn);
    		for(R int j=0;j<lim;j+=I)for(R int k=0;k<mid;++k){
    			int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
    			A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
    		}
    	}if(ty==-1)for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv);
    }
    void Inv(int *a,int *b,int len){
    	if(len==1)return (void)(b[0]=ksm(a[0],P-2));
    	Inv(a,b,len>>1);fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    	NTT(A,1,len<<1),NTT(B,1,len<<1);
    	fp(i,0,(len<<1)-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
    	NTT(A,-1,len<<1);fp(i,0,len-1)b[i]=dec(mul(b[i],2),A[i]);
    	fp(i,0,(len<<1)-1)A[i]=B[i]=0;
    }
    void Direv(int *a,int *b,int len){
    	fp(i,1,len-1)b[i-1]=mul(a[i],i);b[len-1]=0;
    }
    void Inter(int *a,int *b,int len){
    	fp(i,1,len-1)b[i]=mul(a[i-1],ksm(i,P-2));b[0]=0;
    }
    void Ln(int *a,int *b,int len){
    	Direv(a,C,len),Inv(a,D,len);
    	NTT(C,1,len<<1),NTT(D,1,len<<1);
    	fp(i,0,(len<<1)-1)C[i]=mul(C[i],D[i]);
    	NTT(C,-1,len<<1),Inter(C,b,len);
    	fp(i,0,(len<<1)-1)C[i]=D[i]=0;
    }
    void Exp(int *a,int *b,int len){
    	if(len==1)return (void)(b[0]=1);
    	Exp(a,b,len>>1),Ln(b,F,len);
    	F[0]=dec(a[0]+1,F[0]);fp(i,1,len-1)F[i]=dec(a[i],F[i]);
    	NTT(F,1,len<<1),NTT(b,1,len<<1);
    	fp(i,0,(len<<1)-1)b[i]=mul(b[i],F[i]);
    	NTT(b,-1,len<<1);fp(i,len,(len<<1)-1)b[i]=F[i]=0;
    }
    int main(){
    //	freopen("testdata.in","r",stdin);
    	n=read(),m=read();
    	fp(i,1,n)x=read(),++cnt[x];
    	fp(i,1,m)if(cnt[i]){
    		for(R int j=i;j<=m;j+=i)
    		G[j]=add(G[j],mul(cnt[i],mul(i,ksm(j,P-2))));
    	}int len=1;while(len<=m)len<<=1;
    	Exp(G,H,len);fp(i,1,m)print(H[i]);
    	return Ot(),0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/10193841.html
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