最大子段和问题，最大子矩阵和问题，最大m子段和问题

1、最大子段和问题

     问题定义：对于给定序列a1,a2,a3……an,寻找它的某个连续子段，使得其和最大。如( -2,11,-4,13,-5,-2 )最大子段是{ 11,-4,13 }其和为20。

     (1)枚举法求解

     枚举法思路如下：

     以a[0]开始: {a[0]}, {a[0],a[1]},{a[0],a[1],a[2]}……{a[0],a[1],……a[n]}共n个

     以a[1]开始: {a[1]}, {a[1],a[2]},{a[1],a[2],a[3]}……{a[1],a[2],……a[n]}共n-1个

     ……

     以a[n]开始:{a[n]}共1个

     一共(n+1)*n/2个连续子段，使用枚举，那么应该可以得到以下算法：
     具体代码如下：

//3d4-1 最大子段和问题的简单算法
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);

int main()
{
    int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};

    for(int i=0; i<6; i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }

    int besti,bestj;

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;

    return 0;
}

int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)
{    
    int sum = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项
    {
        for(int j=i; j<n; j++)//控制求和结束项
        {
            int thissum = 0;
            for(int k=i; k<=j; k++)//求和
            {
                thissum += a[k];
            }

            if(thissum>sum)//求最大子段和
            {
                sum = thissum;
                besti = i;
                bestj = j;
            }
        }
    }
    return sum;
}

   从这个算法的三个for循环可以看出，它所需要的计算时间是O(n^3)。事实上，如果注意到，则可将算法中的最后一个for循环省去，避免重复计算，从而使算法得以改进。改进后的代码如下：

//3d4-2 最大子段和问题的避免重复的简单算法
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj);

int main()
{
    int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};

    for(int i=0; i<6; i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }

    int besti,bestj;

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为：a["<<besti<<":"<<bestj<<"]:"<<MaxSum(6,a,besti,bestj)<<endl;

    return 0;
}

int MaxSum(int n,int *a,int& besti,int& bestj)
{    
    int sum = 0;
    for(int i=0; i<n; i++)//控制求和起始项
    {
        int thissum = 0;
        for(int j=i; j<=n; j++)//控制求和结束项
        {
            thissum += a[j];//求和
            if(thissum>sum)
            {
                sum = thissum;
                besti = i;
                bestj = j;
            }
            
        }
    }
    return sum;
}

   (2)分治法求解

       分治法思路如下：

    将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

    [1]、a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同； 

       [2]、a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

    [3]、a[1:n]的最大字段和为，且1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n。

    可用递归方法求得情形[1],[2]。对于情形[3],可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。因此可以在a[1:n/2]中计算出，并在a[n/2+1:n]中计算出。则s1+s2即为出现情形[3]时的最优值。

     具体代码如下：

//3d4-1 最大子段和问题的分治算法
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

int MaxSubSum(int *a,int left,int right);
int MaxSum(int n,int *a);

int main()
{
    int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};

    for(int i=0; i<6; i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;

    return 0;
}

int MaxSubSum(int *a,int left,int right)
{    
    int sum = 0;
    if(left == right)
    {
        sum = a[left]>0?a[left]:0;
    }
    else
    {
        int center = (left+right)/2;
        int leftsum = MaxSubSum(a,left,center);
        int rightsum = MaxSubSum(a,center+1,right);

        int s1 = 0;
        int lefts = 0;
        for(int i=center; i>=left;i--)
        {
            lefts += a[i];
            if(lefts>s1)
            {
                s1=lefts;
            }
        }

        int s2 = 0;
        int rights = 0;
        for(int i=center+1; i<=right;i++)
        {
            rights += a[i];
            if(rights>s2)
            {
                s2=rights;
            }
        }
        sum = s1+s2;
        if(sum<leftsum)
        {
            sum = leftsum;
        }
        if(sum<rightsum)
        {
            sum = rightsum;
        }

    }
    return sum;
}

int MaxSum(int n,int *a)
{
    return MaxSubSum(a,0,n-1);
}

 算法所需的计算时间T(n)满足一下递归式：

     解此递归方程可知：T(n)=O(nlogn)。

     (3)动态规划算法求解

    算法思路如下：

    记，则所求的最大子段和为：

    由b[j]的定义知，当b[j-1]>0时，b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。由此可得b[j]的动态规划递推式如下：

     b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},1<=j<=n。

     具体代码如下：

//3d4-1 最大子段和问题的动态规划算法
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

int MaxSum(int n,int *a);

int main()
{
    int a[] = {-2,11,-4,13,-5,-2};

    for(int i=0; i<6; i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(6,a)<<endl;

    return 0;
}

int MaxSum(int n,int *a)
{
    int sum=0,b=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(b>0)
        {
            b+=a[i];
        }
        else
        {
            b=a[i];
        }
        if(b>sum)
        {
            sum = b;
        }
    }
    return sum;
}

上述算法的时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。

     2、最大子矩阵和问题
        (1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，使其各元素之和为最大。

     (2)问题分析：

      用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

      最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则

容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

//3d4-5 最大子矩阵之和问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int M=4;
const int N=3;

int MaxSum(int n,int *a);
int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);

int main()
{
    int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};

    for(int i=0; i<M; i++)
    {
        for(int j=0; j<N; j++)
        {
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;

    return 0;
}

int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N])
{
    int sum = 0;
    int *b = new int[n+1];
    for(int i=0; i<m; i++)//枚举行
    {
        for(int k=0; k<n;k++)
        {
            b[k]=0;
        }

        for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j
        {
            for(int k=0; k<n; k++)
            {
                b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和
                int max = MaxSum(n,b);
                if(max>sum)
                {
                    sum = max;
                }
            }
        }
    }
    return sum;
}

int MaxSum(int n,int *a)
{
    int sum=0,b=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(b>0)
        {
            b+=a[i];
        }
        else
        {
            b=a[i];
        }
        if(b>sum)
        {
            sum = b;
        }
    }
    return sum;
}

以上代码MaxSum2方法的执行过程可用下图表示：

     3、最大m子段和问题

     (1)问题描述：给定由n个整数(可能为负数)组成的序列a1,a2,a3……an,以及一个正整数m,要求确定此序列的m个不相交子段的总和达到最大。最大子段和问题是最大m字段和问题当m=1时的特殊情形。

     (2)问题分析：设b(i,j)表示数组a的前j项中i个子段和的最大值，且第i个子段含a[j](1<=i<=m,i<=j<=n),则所求的最优值显然为。与最大子段问题相似，计算b(i,j)的递归式为：

     其中，表示第i个子段含a[j-1],而项表示第i个子段仅含a[j]。初始时，b(0,j)=0,(1<=j<=n);b(i,0)=0,(1<=i<=m)。

     具体代码如下：

//3d4-6 最大m子段问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

int MaxSum(int m,int n,int *a);

int main()
{
    int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始
    for(int i=1; i<=6; i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;
    }

int MaxSum(int m,int n,int *a)
{
    if(n<m || m<1)
        return 0;
    int **b = new int *[m+1];

    for(int i=0; i<=m; i++)
    {
        b[i] = new int[n+1];
    }

    for(int i=0; i<=m; i++)
    {
        b[i][0] = 0;
    }

    for(int j=1;j<=n; j++)
    {
        b[0][j] = 0;
    }

    //枚举子段数目，从1开始，迭代到m，递推出b[i][j]的值
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形
        for(int j=i; j<=n-m+i; j++)
        {
            if(j>i)
            {
                b[i][j] = b[i][j-1] + a[j];//代表a[j]同a[j-1]一起，都在最后一子段中
                for(int k=i-1; k<j; k++)
                {
                    if(b[i][j]<b[i-1][k]+a[j])
                        b[i][j] = b[i-1][k]+a[j];//代表最后一子段仅包含a[j]
                }
            }
            else
            {
                b[i][j] = b[i-1][j-1]+a[j];//当i=j时，每一项为一子段
            }
        }
    }
    int sum = 0;
    for(int j=m; j<=n; j++)
    {
        if(sum<b[m][j])
        {
            sum = b[m][j];
        }
    }
    return sum;
}

  上述算法的时间复杂度为O(mn^2)，空间复杂度为O(mn)。其实，上述算法中，计算b[i][j]时，只用到了数组b的第i-1行和第i行的值。因而，算法中只要存储数组b的当前行，不必存储整个数组。另一方面，的值可以在计算i-1行时预先计算并保存起来。计算第i行的值时不必重新计算，节省了计算时间和空间。因此，算法可继续改进如下：

//3d4-7 最大m子段问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

int MaxSum(int m,int n,int *a);

int main()
{
    int a[] = {0,2,3,-7,6,4,-5};//数组脚标从1开始
    for(int i=1; i<=6; i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum(3,6,a)<<endl;
    }

int MaxSum(int m,int n,int *a)
{
    if(n<m || m<1)
        return 0;
    int *b = new int[n+1];
    int *c = new int[n+1];

    b[0] = 0;//b数组记录第i行的最大i子段和
    c[1] = 0;//c数组记录第i-1行的最大i-1子段和

    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        b[i] = b[i-1] + a[i];
        c[i-1] = b[i];
        int max = b[i];

        //n-m+i限制避免多余运算，当i=m时，j最大为n，可据此递推所有情形
        for(int j=i+1; j<=i+n-m;j++)
        {
            b[j] = b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];
            c[j-1] = max;//预先保存第j-1行的最大j-1子段和

            if(max<b[j])
            {
                max = b[j];
            }
        }
        c[i+n-m] = max;
    }

    int sum = 0;
    for(int j=m; j<=n; j++)
    {
        if(sum<b[j])
        {
            sum = b[j];
        }
    }
    return sum;
}

 上述算法时间复杂度为O(m(n-m))，空间复杂度为O(n)。当m或n-m为常数时，时间复杂度和空间复杂度均为O(n)。