电枢控制直流电动机的数学模型

1. 时域模型 

1.1 电枢控制直流电机

这种电机好像有两个绕组需分别供电：励磁绕组和电枢绕组。

1.1.1 反电势

对于给定的反电势系数，反电势只和电机角速度有关。这个反过来想就可以了：负载不变时，永磁式直流电机角速度只和供电电压有关；所以反过来，反电势只和电机角速度有关。

1.1.2 电磁转矩方程

M_m(t)=C_mi_a(t)

按电磁场理论，线圈转矩M=NBIA。N是线圈匝数，B是磁场强度，I是线圈电流，A是线圈面积。对于给定电机，N、B和A是确定的，那么转矩只和电流有关，C_m是电机转矩系数。

1.1.3 转动惯量

转动惯量：J=Σm_ir_i²

一个刚体对于某转轴的转动惯量决定了该物体绕转轴达到单位角加速度所需转矩，单位kg·m²。转动惯量在旋转动力学中相当于线性动力学中的质量，只与物体本身质量分布和转轴位置有关，和角速度无关。用一个形象的例子：两个同样质量不同半径的圆盘，假设质量集中在圆盘边缘，在其边沿施加力使其转动，那么两个（同样质量的）圆盘在同样作用力下将有同样的线加速度，于是半径大的将具有更小的角加速度（即更大的转动惯量）。

M=Jα，α是角加速度。

证明：仍同上文，假设质量集中在圆盘边缘，那么J=mr²。

假设外力总是沿圆周切线方向，那么力总是与运动方向一致，于是M=Fr。

线加速度=F/m，角加速度α=F/mr，右式=mr²F/(mr)=Fr=左式。

1.1.4 转子输出的机械功率

转子做功W=fs，功率P=fs/t=f(s/t)=fv=fωr=(fr)ω=Mω

1.1.5 堵转转矩

外加控制电压且不让电机转动（电机堵住了）时，电机的转矩。

1.1.6 电机转矩平衡方程

电机输出转矩（1）驱动负载（2）克服粘性摩擦

（？这里插一句，由转矩定义[M=Fr]，转矩总是由力作用于轴产生，因此考虑转矩时只要计入那些会对轴产生旋转方向的作用力的部分？）

首先考虑最小理想情况：无摩擦；负载有转动惯量（比如均匀有质量圆盘）；无负载转矩（在旋转方向上*不*对圆盘施加力）。

此时M_m=J_md²θ_m/dt²。

如果负载有转矩（比如在圆盘边缘施加切于旋转方向的力），且考虑摩擦：

输出转矩M_m=J_md²θ_m/dt²+f_mdθ_m/dt+M_c

M_c：负载转矩（比如在圆盘边缘施加切于旋转方向的力f_c，M_c就是F_cr，r是圆盘半径）

J_m：圆盘对电机轴的转动惯量

θ_m：电机角位移

f_m：电机轴上的粘性摩擦系数

f_mdθ_m/dt可理解为摩擦力所带来的（反向）转矩，这样总转矩还是等于J_md²θ_m/dt²（？）。

更现实的情况还要考虑电机轴自身的转动惯量，以及负载会影响摩擦系数。