短时傅里叶变换

时间分辨率和频率分辨率

    时间分辨率：信号频率随时间变化，要将这种频率变化分辨出来。自然，窗越短越好，以使得在窗内信号频率近似不变。

    频率分辨率：同一时间段有两个（或更多）不同频率的信号叠加在一起，要将这两个信号分辨出来。那么，窗越长越好，以使得窗内两个不同频率的信号能展现出明显差异：

    例如，100Hz的信号和100.1Hz的信号叠加，一两个周期恐怕看不出来，必须要足够多的周期才能区别开。

短时傅里叶变换可以看做移位信号x[n+m]通过窗w[m]的傅里叶变换。当n改变时，信号x[m]滑动着通过窗w[m]。对每一个n，可以看到信号的一段不同部分。

当然，也可以看做将窗平移，而保持傅里叶分析的时间原点固定不变，由此可以得出稍许不同的另一个短时傅里叶变换定义式。

当窗对于所有m均为1，即不加窗时，X[n, λ)=Σx[n+m]e^-jλm=Σx[n+m]e^-jλ(n+m)e^jλn=X(e^jλ)e^jλn。

因为短时傅里叶变换包含信号的平移，所以上式也就可以理解了：平移带来相位的变化，于是X[n, λ)=X(e^jλ)e^jλn。（点n附近的序列移动到原点附近）

另外，若设m'=n+m，短时傅里叶变换还可以写成下面的形式：

X[n, λ)=Σx[m']w[-(n-m')]e^jλ(n-m')。

若设h_λ[n]=w[-n]e^jλn，那么短时傅里叶变换就是x[n]和h_λ[n]的卷积（固定λ）：

傅里叶变换本身就满足交换性质和线性性质，短时傅里叶变换恰好又具备类似卷积的滑动过程。 

对不同的λ（频率），h_λ[n]相当于对w[n]乘以不同频率的复指数信号（施加不同频率的复指数权），以便能够将x[m]的相应频率成分提取出来。

我们固定n时，信号和窗没有相对滑动，这样信号和窗的乘积在频域就相当于两者频谱的卷积。在做这样的卷积时，我们滑动W(e^jω)得到H_λ(e^jω)=W(e^j(λ-ω))，得到一个通带中心位于ω=λ的带通滤波器，这个滤波器的通带宽度（近似？）等于窗的傅里叶变换之主瓣的宽度。

在窗或信号的滑动过程中，对某一特定的n₀，x[n₀]可能会参与多个时间点的X[n, λ)计算。例如，若窗长度为5（w[0]~w[4]），那么计算X[0, λ]需要x[0:4]，计算X[1, λ]需要x[1:5]……这样，x[1]同时参与从X[-3, λ]直到X[1, λ)的计算过程。所以，STDTFT的计算结果在时间维度上是包含有冗余信息的。同样，连续变量λ也可以离散化。这样得到抽取后的X[rR, k]=X[rR, 2kπ/N)，R为时间维度上的抽取间隔。当然，R不能大于窗的长度L。若DFT长度为N，那么只要满足N≥L≥R[注]，就可以重构信号。特殊情况就是N=L=R。

[注]实际上应该是L≥R，N≥R。