读书笔记：Ross：概率模型导论：方差和协方差

例2.34 考虑N个人，一些人赞同某个提议，另一些人反对。假定Np个人赞同，N-Np人反对，p未知。现在想要通过随机选取n个人调查他们的态度，并由此来估计总体中赞同这个提议的人员比例p。

设X_i=1表示第i个选到的人赞同。用被取样部分中赞同这个提议的比率作为p的估计，即ΣX_i/n，i=[1..n]。

现在我们要求这个估计的方差。先求Var(ΣX_i)：

Var(ΣX_i)＝ΣVar(ΣX_i)+2ΣΣCov(X_i, X_j)

初看起来和式的第二项貌似多余：每个人的意见不是应该独立的吗？

嗯，每个人的意见确实是“独立”的没错，但“意见上的独立”和统计试验意义上的“独立”完全是两码事。如下：

设事件E1表示抽出的第一个人赞同，事件E2表示抽出的第二个人赞同，

P(E1E2)=P(E2|E1)P(E1)，

P(E1)=p, P(E2|E1)=(Np-1)/(N-1),  // 第二次抽取时，总人数N-1，赞同人数Np-1。

P(E1)=P(E2)=p，

P(E1E2)!=P(E1)P(E2)。

关键是，P(E2)!=P(E2|E1)。

次序统计量

X_i小于等于x当且仅当X₁,...X_n至少有i个小于或等于x。

初看起来不太好理解，上图。

X₁  X₂  ...  X_i-2  X_i-1  X_i  X_i+1  X_i+2  ...  X_n

----------------------------------x----------->

                                  |

                               x在这里

如上图是X_i小于x的情况，共有i+2个小于等于x。