正交坐标系以及梯度、散度和旋度

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直角坐标、极坐标、柱坐标和球坐标这几种坐标系都是正交坐标系，证明似乎并不麻烦（没证明过，想象了一下）；当我们将直角坐标系下的积分变换到其他坐标（或者更灵活一点，随便变来变去），并将其他坐标也画成正交的形式（比如极坐标的r和Θ），那么经过变换后的图形是不一样的。例如直角坐标下圆心在原点的圆弧变换到极坐标下就变成了线段（r固定）。由此可以想象，当进行积分运算的时候，大概就要对被积函数乘以一个因子，这个因子就是雅克比行列式的绝对值。

直角坐标下，梯度grad(f)=df/dxa_x+df/dya_y+df/dza_z

df=df/dx·dx+df/dy·dy+df/dz·dz=grad(f)·dl

圆柱坐标下，可以用类似的方法得到梯度表达式：

df=df/dr·dr＋df/dφ·dφ＋df/dz·dz=grad(f)·dl

dl=dra_r+rdφa_φ+dza_z

于是grad(f)就有了。

圆柱和球坐标下的散度和旋度：使用向量运算恒等式将散度和旋度转换为梯度运算。见第一行。

梯度场的旋度为0；

旋度场的散度为0。

梯度场总是指向函数增长最快的方向。

旋度的散度为零，意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。

向量旋度并*不*表示向量“”形态”是否是“旋转”的。例如，无限长直导线周围*不*包含导线的区域形态似乎是“旋转”的，但其旋度为0。（不过从另一个角度来说，只要所取区域不包含导线，沿磁力线方向就没办法从起点旋转回来。因此，具有旋转形态但旋不回来的向量旋度为0？）

旋度是环量（矢量场绕闭合路径的线积分）的度量。仍以无限长直导线周围的磁场为例，空间任一点磁通密度沿周围的无限小闭合路径的线积分为0：设该闭合路径垂直于z轴，四边分别沿ρ和φ，那么两条沿ρ的边积分为0，两条沿φ的边积分反向所以和为0。

在计算向量场的散度或旋度时，将x，y，z看做独立变量：因为在向量场的表达式中它们就是独立变量啊。

下面演示使用Matlab画出一个向量场M=-y/(x²+y²)，N=x/(x²+y²)

>> [x,y]=meshgrid(1 : .1 : 2 , 1 : .1 : 2);

>> M=-y./(x.*x+y.*y);
>> N=x./(x.*x+y.*x);
>> quiver(x,y,M,N);

这是一个无旋场。

如果你想看有旋场，可以用下面这个向量：

M=-y

N=x