离散有理系统函数的频率响应

1. 单个零点的频率相应

    单个零点对应的分式为1－az^-1，a可以为复数。当z在单位圆上取值时，我们可以将这个分式写为1－re^jθe^-jω来分析。

    这个因式的的幅度平方为：

    |1－re^jθe^-jω|²=(1－re^jθe^-jω)(1－re^-jθe^jω)=1+r²-2rcos(ω-θ)。

    （将1、re^jθe^-jω=re^j(θ-ω)以及它们的差看做z平面上的一个三角形，那么上式就是三角等式c²=a²+b²-2abcosψ）

    1－re^jθe^-jω=1-rcos(ω-θ)+jrsin(ω-θ)，据此可求出主值相位。

    设r=0.9，使用零极点图分析（根轨迹？奈奎斯特图？）（《信号与系统》，奥本海默），可以得出以下性质：

    ·幅值在ω=θ附近急剧下陷；

    ·r不变时，对数幅值是(ω-θ)的函数，当θ变化时，幅频特性只是在频率轴上平移；

    ·幅度最大值出现在ω-θ=π处；

2. 多个极点

    如果系统的h[n]为实数，那么这个系统的频率响应必然有共轭对称的零点或极点（系统频率响应为实系数多项式）。例如，假设系统函数有极点re^jθ，那么必然有共轭极点re^-jθ，于是这样一个有理函数系统的系统函数必然存在分母(1-re^jθz^-1)(1-re^-jθz^-1)=1-2rcosθz^-1＋r²z^-2。

3. 据说有时候考虑幅度模平方更加方便（奥本海默说的，别问我什么时候方便，我不知道）

    |H(e^jω)|²=H(e^jω)H^*(e^jω)

    而对H取共轭会导致类似如下的结果：

    (1-d_kz^-1)^*=1-d_k^*(z^-1)^*=1-d_k^*(z^*)^-1

    这里出现了z^*。当我们将z的取值限制在单位圆上时，z=e^jω    ==>    z^*=e^-jω    ==>    e^jω=(z^*)^-1=1/z^*。

    所以，当z在单位圆上取值时，|H(e^jω)|²=H(z)H^*(1/z^*)：z在单位圆上取共轭再取倒数之后，就不会出现z^*了。

4. Matab画z域的bode图

    

    比如这个式子，首先分子分母同乘以z³变换成z的正幂形式，然后：

>> x1=[0.05634];
>> x2=[1 1];
>> x=conv(x1,x2);             % conv可用于多项式相乘

>> x3=[1 -1.10166 1];
>> x=conv(x,x3);

>> y1=[1 -0.683];

>> y2=[1 -1.4461 0.7957];

>> y=conv(y1, y2);

>> dbode(y, x, 2);    % Ts=2可使得图形在数字频率PI/2结束