线性代数之向量空间

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0. 尽管我们在大多数情况下我们以Rⁿ作为向量空间的研究对象，但实际上有很多非Rⁿ形式的向量空间。

    例如，最高次幂为n的多项式空间。

    这里我们需要区分向量空间和向量坐标：向量空间可能是非Rⁿ形式，但向量的坐标一定是Rⁿ的。

    x是向量；[x]_B是x在基B下的坐标。

0.5 mxn矩阵将Rⁿ映射到R^m （可简记为m<-n）

1. mxn矩阵A的零空间是Rⁿ的子空间；同样，m个方程n个未知数的齐次线性方程组的解的集合也是Rⁿ的子空间。

    NulA的生成集中向量的个数等于方程Ax=0中自由变量的个数。

    当且仅当Ax=0仅有平凡解，NulA={0}。

    当且仅当x|->Ax是一对一的，NulA={0}。

    解释:x|->Ax一对一 ==> x各列线性无关 ==> Ax=0仅有平凡解。

2. mxn矩阵A的列空间是A的列的线性组合组成的集合，ColA是R^m的子空间。

    当且仅当Ax=b对每一个b都有一个解，ColA=R^m

    当且仅当x|->Ax将Rⁿ映上到R^m，ColA=R^m

3. 向量空间V->W的线性变换T将V中每个向量x映射成W中唯一向量T(x)

    线性变换T的核（即零空间）是V中所有满足T(u)=0的向量u的集合

    T的值域（即列空间）是W中所有具有形式T(x)的向量的集合

4. 矩阵的行初等变换不影响矩阵列的线性相关关系（想象方程组的求解过程）

5. 矩阵A的主元列构成ColA的一个基

    与矩阵A等价的阶梯矩阵的非零行构成RowA的一个基

    若两个矩阵行等价，它们有相同的行空间：因为行等价的两个矩阵例如A、B，B的行是A的行的线性组合，反之亦然。

    矩阵行空间维数等于列空间维数等于主元列个数等于矩阵的秩（Rank）。

    矩阵零空间维数等于齐次方程解的自由变量个数。

6. 如果一个一般意义上的向量空间（不一定是R^x）的基包含n个向量，那么该向量空间中的某个向量可以用相对于该基的坐标操作，这样就使得操作V像操作Rⁿ一样方便。

    例如，n次多项式向量空间的一个基是{t⁰, t¹, ..., tⁿ}

    向量y=a₀+a₁t+...+a_ntⁿ相对于该基的坐标是Rⁿ⁺¹中的向量：

    [a₀ a₁ ... a_n]^T

    使用上述坐标，就可以比较简单地判断多个多项式是否线性相关。

7. 对Rⁿ中的一个基B={b₁,b₂, ..., b_n}，若令P_B=[b₁ b₂ ... b_n]

     那么：x=P_B[x]_B

              [x]_B=P_B^-1x

     更多解释：“基”可理解为“度量基准”。在此度量基准下的某个值，乘以该基准就得到“标准值”。

     “标准值”除以该基准（或乘以P_B^-1），就得到该基准下的示值。

8. 若向量空间V的一个基是B={b₁,b₂, ..., b_n}，那么x|->[x]_B是由V映上到Rⁿ的一对一的线性变换。

9. 若B和C都是向量空间V的基，假定基中的向量个数为n，则存在一个nxn矩阵P_C<-B使得：

    [x]_C=P_C<-B[x]_B

    其中P_C<-B是基B中向量的C-坐标向量：

    P_C<-B=[ [b₁]_c ... [b_n]_c ]

    该矩阵称为由B到C的坐标变换矩阵。自然，

    [x]_B=P_C<-B^－1[x]_C

    如上所述，P_C<-B是基B中向量的C-坐标向量，所以可以按下式求P_C<-B：

    [c₁...c_n  |  b₁...b_n]  ~  [ I  |  P_C<-B ]

10. 一个具有非负分量且各分量数值相加等于1的向量称为概率向量；随机矩阵是各列均为概率向量的方阵。

      对一个nxn的正规随机矩阵P，存在稳态向量（也是概率向量）q使得Pq=q