我们知道，小波分析实际上就是将信号分解为“粗略”的和“精细”的两部分。其中“粗略”部分变化缓慢，获取“粗略”成分可理解为低通滤波；相应的，获取“精细”成分可理解为高通滤波。
为了能将这种分解一级级继续下去，我们需要定义一个子空间序列$V_j$满足如下条件：
（嵌套性）$V_jsubset V_{j+1}$
（稠密性）$overline{cup{V_j}}=L^2 (R)$
（分立性）$cap{V_j}={0}$
（尺度性）$f(x)in V_j Longleftrightarrow f(2^{-j}x) in V_0$
（标准正交基）存在函数$phi in V_0$，${phi (x-k); kin Z}$是$V_0$的标准正交基
从实用角度看，最有用的一类尺度函数是有限支撑的，但这并不是一个理论上的限制。
满足上述条件的空间序列${V_j; jin Z}$和相应的函数$phi$称为依尺度函数$phi$的多分辨率分析。
定理1. 设${V_j, jin Z}$是一个依尺度函数$phi$的多分辨率分析，那么对任一$j in Z$，函数集
${phi_{jk} (x) = 2^{j/2} phi(2^j x-k); k in Z}$
是$V_j$的一个标准正交基。
证明思路：考虑利用尺度特性证明$ V_j $中的函数可以写成${phi (2^{-j} x - k); kin Z}$的线性组合。然后直接利用标准正交的定义证明${ phi_{jk}; k in Z }$是标准正交的。
定理2. （双尺度关系定理）设${V_j, jin Z}$是一个依尺度函数$phi$的多分辨率分析，有下列尺度关系成立：
$phi (x) = sumlimits_{kin Z} p_k phi(2x-k)$，$p_k = 2 int_{-infty}^{infty} phi(x) overline{phi(2x-k)}dx$
进一步，有$phi_{j-1,l}=2^{-1/2}sumlimits_k p_{k-2l} phi_{jk}$
注意有的教材会将$p_k$规范化，此时公式前面的系数有相应的改变。
解释与证明思路：考虑到空间的嵌套性与前述定理，$phi(x)$总是可以写成$phi(2x)$及其移位的线性组合。每个线性项的系数是$phi(x)$在空间${V_1}$的标准正交基上的投影。将$x$替换为$2^{j-l}x-l$可证得进一步结论。对进一步结论也可以从直观上看：基函数及其移位函数$phi(2^j x - k)$保持不变，但将各系数移位成$p_{k-2l}$，累加就得到移位后的函数$phi_{j-1,l}$。因为$V_j$与$V_{j-1}$是包含与被包含的关系，所以进一步结论的等号两端移位长度分别为$l$和$2l$。
Parseval恒等式
令V是一个复内积空间，其标准正交基为${ u_k }$。若$fin V, gin V$，$f$和$g$的表示式如下：
$f=sumlimits_{k=1}^{infty} a_k u_k$
$g=sumlimits_{k=1}^{infty} b_k u_k$
那么
$langle f,g angle = sumlimits_{k=1}^{infty} a_k overline{b_k}$
定理3. 设${V_j; j in Z}$是一个依尺度函数$phi$的多分辨率分析，$p_k$如前述定理。则下列等式成立：
1. $sumlimits_{kin Z} p_{k-2l} overline{p_k} = 2 delta_{l0}$
2. $sumlimits_{kin Z} |p_k|^2=2$
3. $sumlimits_{kin Z} p_k = 2$
4. $sumlimits_{kin Z} p_{2k}=1$，$sumlimits_{kin Z} p_{2k+1} = 1$
解释与证明思路：式1的证明利用前述Parseval恒等式和${ phi(x-k) }$标准正交即可。然后令$l=0$得到式2。其余等式的证明参考教科书。
定理4. 设${V_j; j in Z}$是一个依尺度函数$phi$的多分辨率分析，且$phi=sumlimits_k p_k phi (2x-k)$。令$psi(x)=sumlimits_{kin Z} (-1)^k overline{p_{1-k} phi(2x-k)}$，那么$W_j subset V_{j+1}$是$V_{j+1}$中$V_j$的正交补，且${psi_{jk}(x)=2^{j/2}psi(2^jx-k), kin Z}$是$W_j$的一个标准正交基。
解释与证明思路：如果将$p_k$看做是低通滤波系数，分解后的信号在$phi(x)$支撑区间内比原信号要“平滑”，那么相应的高通滤波系数需要更加“剧烈抖动”且是原滤波器的“完全补”。通过将系数乘上$(-1)^k$并逆序以达到这种效果。$p$的下标倒序为$1-k$还使得$langle phi, psi angle$在运算时可以将$p_mp_n$两两抵消最终达到正交的效果。
定理5. 小波函数集${psi_{jk}}$是$L^2(R)$的一个标准正交基。
分解与重构：
在得到$phi_{jk}$与$phi_{j-1,k}$与$psi_{j-1,k}$的关系之后，我们可以进一步考虑信号的分解与重构。
若$f$是$V_j$中的函数，我们有：$f=sumlimits_{k in Z} langle f, phi_{jk} angle phi_{jk} $
分解：
$f=sumlimits_{kin Z} langle f, phi_{j-1,k} angle phi_{j-1,k} + sumlimits_{kin Z} langle f, psi_{j-1,k} angle psi_{j-1,k} $
$langle f, phi_{j-1,l} angle = 2^{-1/2} sumlimits_{k in Z} overline{p_{k-2l}} langle f, phi_{jk} angle $
$langle f, psi_{j-1,l} angle = 2^{-1/2} sumlimits_{k in Z} (-1)^k p_{1-k+2l} langle f, phi_{jk} angle $
重构：
$langle f, phi_{jk} angle = 2^{-1/2}sumlimits_{l in Z} p_{k-2l} langle f, phi_{j-1,l} angle + 2^{-1/2}sumlimits_{l in Z} (-1)^k overline{p_{1-k+2l}} langle f, psi_{j-1,l} angle $
解释与证明思路：
利用Parseval恒等式和尺度关系。