min-max容斥学习笔记

min-max容斥学习笔记

• 前置知识

  二项式反演

  [f(n)=sum_{i=0}^ninom{n}{i}g(i)Leftrightarrow g(n)=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}f(i) ]

• 一些定义

  (max (S),min (S))表示分别集合(S)的最大，最小元素

• 套路式子

  [max(S)=sum_{varnothing ot=Ssubseteq T}(-1)^{|T|-1}min(T) ]

• 证明

  首先我们先设一个容斥系数(f(x))

  [max(S)=sum_{varnothing ot=Ssubseteq T}f(|T|)min(T) ]

  设集合(S)有(n)个元素，我们讨论第(k)小元素的贡献

  [sum_{i=0}^{n-k}inom{n-k}{i}f(i+1)=[n-k=0] ]

  就是当这个元素成为最小值时另外再选几个比它要大的元素的方案，如果这个元素不是最大元素，要求不贡献

  设

  [F(n)=f(n+1),G(n)=[n=0] ]

  上式为

  [G(n)=sum_{i=0}^ninom{n}{i}F(i) ]

  由二项式反演

  [F(n)=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}G(i) ]

  代回去

  [egin{aligned} f(n+1)&=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}[i=0]\ &=(-1)^n\ f(n)&=(-1)^{n-1} end{aligned} ]

  所以有

  [max(S)=sum_{varnothing ot=Ssubseteq T}(-1)^{|T|-1}min(T) ]

• 用处

  在期望意义下，这个式子依然成立，即

  [E(max(S))=sum_{varnothing ot=Ssubseteq T}(-1)^{|T|-1}E(min(T)) ]

  下面给几个例题

• 例题

  • HDU4336

    题意：有(n)个卡牌，每秒有(p_i)的概率抽到卡牌(i)，求至少得到每个卡牌至少一张的期望时间

    min-max容斥有个套路思想就是化max为min，因为min一般比较好统计

    令(max (S))表示集合(S)中最后一个获得元素的期望时间，(min (S))代表集合(S)中第一个获得元素的期望时间

    那么有上面的套路式子

    [max(S)=sum_{varnothing ot=Ssubseteq T}(-1)^{|T|-1}min(T) ]

    (min (T))就非常好求了

    [min(T)=frac{1}{sum_{iin T}p_i} ]

    就是先把总概率算一下的事情

  • 「HAOI2015」按位或

    题意：初始有一个数(0)，每秒有(p_i)的概率或(|)上整数(i(iin [0,2^n)))，求期望多少秒后数组变成(2^n-1)

    令(max(S))表示最后一个或上去的期望时间，(min(S))同理

    式子随便套，考虑求出(min(T))

    [min(T)=frac{1}{sum_{Scap T ot=varnothing}p_S} ]

    考虑求底下的东西

    [egin{aligned} sum_{Scap T ot=varnothing}p_S&=sum_{Ssubseteq U} p_S-sum_{Scap T=varnothing}p_S\ &=sum_{Ssubseteq U}p_S-sum_{overline Scup T=overline S}p_S end{aligned} ]

    后面的东西取补集后是子集和的形式，我们可以(FWT)或者(FMT)在(2^nn)内求出

  • 「PKUWC2018」随机游走

    题意：树上随机游走，给定起点，每次询问至少走过一次点集的期望时间

    直接套路上去考虑如何求(min (T))，即第一次到达给定点集的期望步数

    令(dp_u)表示(u)走到给定点集(S)的期望步数，(d_u)为(u)点度数

    若(uin S,dp_u=0)

    否则

    [egin{aligned} dp_u&=frac{dp_{fa}}{d_u}+frac{sum dp_v}{d_u}+1\ &=A_udp_{fa}+B_u end{aligned} ]

    就先把环状的转移和其他的分开搞一下，那么

    [dp_u=frac{dp_{fa}}{d_u}+frac{sum A_vdp_u+B_v}{d_u}+1 ]

    化简一下

    [(1-frac{sum A_v}{d_u})dp_u=frac{dp_{fa}}{d_u}+frac{sum B_v}{d_u}+1 ]

    把左边除过去就可以了

    这样的话我们可以(n2^nlog 998244353)处理出每个集合的(min(S))了，仍然可以预处理子集和

• kthmax-min容斥

  [kthmax(S)=sum_{varnothing ot=Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}inom{|T|-1}{k-1}min(T) ]

  (kthmax(S))表示集合中第(k)大的元素

  证明起来和普通的差不多

  设一个容斥系数(f(n)),统计(n)个元素中第(x)小的贡献

  [sum_{i=0}^{n-x}inom{n-i}{i}f(i+1)=[n-x+1=k]\ sum_{i=0}^ninom{n}{i}f(i+1)=[n=k-1]\ f(n+1)=sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}inom{n}{i}[i=k-1]\ f(n)=(-1)^{n-k}inom{n-1}{k-1} ]

  • 例题

    重返现世

    题解

• 参考资料

  【Learning】min-max容斥以及推广kth min-max容斥

  min-max容斥