「SDOI2014」重建
题意
给一个图(G),两点((u,v))有边的概率是(p_{u,v}),求有(n-1)条边通行且组成了一颗树的概率是多少。
抄了几个矩阵树定理有趣的感性说法
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矩阵树定理的度数矩阵记录的是每个点的边权和,邻接矩阵记录的是边权,求的则是所有生成树的边权乘积和
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考虑Kirchhoff矩阵的意义:(K[G]=D[G]−A[G]=B[G]B^T[G]),之所以能够进行生成树计数是对于其伴随矩阵在计数(n−1)条边的集合时,当(n−1)条边中存在环就会产生线性组合而导致行列式为零,否则恰好对角线上均为伴随矩阵中所赋的值,使得(det(B_{i,j})^2)就为(1)
考虑直接把度数矩阵赋为出度概率和,连边矩阵为概率,然后相减套矩阵树定理求得是什么
[sum_Tprod_{(u,v)in T}p_{u,v}
]
然而我们需要求
[sum_Tprod_{(u,v)in T}p_{u,v}prod_{(u,v)
otin T}(1-p_{u,v})
]
化一下可以得到
[prod_{(u,v)in G}(1-p_{u,v})sum_Tprod_{(u,v)in T}frac{p_{u,v}}{1-p_{u,v}}
]
然后把后面的拿去跑矩阵树就可以了。
注意一些精度问题,把(p=0)搞成(p=epsilon),(p=1)搞成(1-epsilon)差不多就可以了
Code:
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
const int N=52;
const double eps=1e-10;
int n;
double p[N][N],a[N][N];
void Gauss()
{
--n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int id=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(fabs(a[id][i])<fabs(a[j][i])) id=j;
std::swap(a[id],a[i]);
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
double p=a[j][i]/a[i][i];
for(int k=n;k>=i;k--)
a[j][k]-=a[i][k]*p;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
double sum=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%lf",&p[i][j]);
if(p[i][j]==0) p[i][j]=eps;
if(p[i][j]==1) p[i][j]=1-eps;
if(i<j) sum*=1-p[i][j];
a[i][j]=p[i][j]/(1-p[i][j]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i][i]=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(i!=j)
a[i][i]+=a[i][j],a[i][j]=-a[i][j];
}
Gauss();
for(int i=1;i<=n;i++) sum*=fabs(a[i][i]);
printf("%.4lf
",sum);
return 0;
}
2019.2.21