LOJ 2664. 「NOI2013」向量内积 解题报告

#2664. 「NOI2013」向量内积

两个 (d) 维向量 (A=[a_1, a_2 ,...,a_d]) 与 (B=[b_1 ,b_2 ,...,b_d]) 的内积为其相对应维度的权值的乘积和，即：

[(A,B) = displaystyle sum_{i=1}^d{a_ib_i} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_db_d ]

现有 (n) 个 (d) 维向量 (x_1, ldots, x_n)，小喵喵想知道是否存在两个向量的内积为 (k) 的倍数。请帮助她解决这个问题。

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输入格式

第一行包含 (3) 个正整数 (n,d,k)，分别表示向量的个数、维数以及待检测的倍数。

接下来 (n) 行每行有 (d) 个非负整数，其中第 (i) 行的第 (j) 个整数表示向量 ([x_i]) 的第 (j) 维权值 (x_{i,j})。

输出格式

包含两个整数，用空格隔开。

如果存在两个向量 (x_p,x_q) 的内积为 (k) 的整数倍，则输出两个向量的编号 (p) 与 (q)（要求 (p<q)）。如果存在多组这样的向量组合，输出其中任意一组即可。

若不存在这样的向量组合，则输出两个 (−1)。

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数据范围与提示

测试点编号	n	d	k	(x_i)
(1)	(2)	(20)	(2)	(le 10)
(2)	(5)	(20)	(2)	(le 10)
(3)	(10)	(20)	(3)	(le 10)
(4)	(20)	(20)	(2)	(le 100)
(5)	(50)	(20)	(3)	(le 100)
(6)	(50)	(50)	(2)	(le 1000)
(7)	(50)	(50)	(3)	(le 3000000)
(8)	(80)	(80)	(2)	(le 2000000)
(9)	(100)	(100)	(3)	(le 3000000)
(10)	(500)	(100)	(3)	(le 3000000)
(11)	(1000)	(100)	(2)	(le 2000000)
(12)	(1000)	(100)	(3)	(le 3000000)
(13)	(10000)	(100)	(2)	(< 10)
(14)	(10000)	(100)	(3)	(< 10)
(15)	(15000)	(100)	(2)	(< 10)
(16)	(18000)	(100)	(2)	(< 10)
(17)	(20000)	(100)	(2)	(< 10)
(18)	(50000)	(30)	(3)	(< 10)
(19)	(80000)	(30)	(3)	(< 10)
(20)	(100000)	(30)	(3)	(< 10)

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向量点乘的过程有点像一个行向量和一个列向量相乘，然后我们把原始向量排成一个矩阵(A),然后令(D=A*A^T)。

那么(D_{i,j})就代表向量(i)和向量(j)做内积。

突破口在(mod 2)上。

现在矩阵所有元素在(mod 2)下

我们设一个(n imes n)的全(1)矩阵(E)，然后通过一些随机化的方法比较(D)和(E)有哪里不相等。

我们可以随机几个(1 imes n)的向量(C)，然后判断是否有

[C imes A imes A^Tequiv C imes Epmod 2 ]

并且我们可以判断出哪一行不相等，然后可以暴力枚举与之匹配的另一个。

或者随机一下原始向量的排列顺序。

至于为什么随机次数是常数次，可以从Hash的角度感性理解

然后(mod 3)也差不多

注意到(2^2equiv 1pmod 3,1^2equiv 1pmod 3)，我们把矩阵(D'_{i,j}=D^2_{i,j})搞出来就可以了

把这个式子拆开可以发现我们需要把组成(A)的每一个向量搞出(1 imes d^2)的，即(A'_{i,(j-1)d+k}=A_{i,j}*A_{i,k})

然后和(2)是一样的

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Code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
int read()
{
	int x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x;
}
int n,d,k;
namespace beecute
{
	int yuy[20010][110],bee[110],dew[20010],c[20010];
	void work()
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=d;j++)
				yuy[i][j]=read()&1;
		int Dew=5;
		while(Dew--)
		{
		    memset(dew,0,sizeof dew);
		    memset(bee,0,sizeof bee);
			for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=rand()&1;
			for(int i=1;i<=d;i++)
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    if(c[j])
                        bee[i]=bee[i]+yuy[j][i]&1;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=d;j++)
					dew[i]=(dew[i]+bee[j]*yuy[i][j])&1;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(dew[i]!=c[i])
				{
					for(int j=1;j<=n;j++)
					{
						int sum=0;
						for(int k=1;k<=d;k++)
							sum=(sum+yuy[i][k]*yuy[j][k])&1;
						if(!sum)
						{
							if(i<j) printf("%d %d
",i,j);
							else printf("%d %d
",j,i);
							return;
						}
					}
				}
		}
		puts("-1");
	}
}
namespace beelovely
{
	int yuy[100010][101],bee[10010],dew[100010],c[100010];
	void work()
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<=d;j++)
				yuy[i][j]=read()%3;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			for(int j=1;j<=d;j++)
				for(int k=1;k<=n;k++)
					(bee[(i-1)*d+j]+=yuy[k][i]*yuy[k][j])%=3;
		int Dew=5;
		while(Dew--)
		{
			memset(dew,0,sizeof dew);
		    memset(bee,0,sizeof bee);
			for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=rand();
			for(int i=1;i<=d;i++)
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    if(c[k])
                        bee[i]=(bee[i]+yuy[k][i]*yuy[k][j])%3;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				for(int j=1;j<=d;j++)
					for(int k=1;k<=d;k++)
						dew[i]=(dew[i]+bee[(j-1)*d+k]*yuy[p[i]][j]*yuy[p[i]][k])%3;
			for(int i=1;i<=n;i++)
				if(dew[i]!=c[i])
				{
					for(int j=1;j<=n;j++)
					{
						int sum=0;
						for(int k=1;k<=d;k++)
							sum=(sum+yuy[i][k]*yuy[j][k])&1;
						if(!sum)
						{
							if(i<j) printf("%d %d
",i,j);
							else printf("%d %d
",j,i);
							return;
						}
					}
				}
		}
		puts("-1");
	}
}
int main()
{
	n=read(),d=read(),k=read();
	if(k==2) beecute::work();
	else beelovely::work();
	return 0;
}

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2019.2.11