逻辑规则给出了数学语句的准确含义，这些规则用于区分有效和无效的数学论证。为了理解数学，我们必须理解正确的数学论证（即证明）是由什么组成的。只要证明一个数学语句是真的，我们称之为一个定理。关于一个主题的定理的集合就组成了我们对这个主题的认知
逻辑不仅对理解数学推理十分重要，而且在计机科学中有许多应用。这些规则用于计算机电路设计，计算即程序构造，程序正确性证明以及许多其他方面。
基本概念
概念，对于学习一个新的知识领域，非常重要。
- 什么是命题？
命题 是一个陈述语句，它或真或假。但不能既真又假。 - 命题变元
命题变元是代表命题的变量，就像用字母表示数值变量那样。习惯上字母p,q,r,s,...表示命题。 - 涉及命题的逻辑领域称为命题演算或命题逻辑。
复合命题
普通的命题并不难理解，现在我们将目光转移到 从已有命题产生新命题的方法 。所谓复合命题，就是由已知命题用逻辑运算符组合而来。
命题的否定:
令p为一命题，则p的否定记作﹁ｐ，指：＂不是ｐ所指的情况＂
例如：语句＂我的电脑云运行Linux＂的否定是：
- 并非我的电脑运行Linux.
- 我的电脑并不运行Linux.
命题的否定也可以看作否定运算符作用在命题上的结果．否定运算符从一个已知命题构造出一个新命题．现在我们将引入从两个或者到多个已知命题构造新命题的逻辑运算符．这些逻辑运算符也称为链接词
合取
令ｐ和ｑ为命题，ｐ，ｑ的合取即命题＂ｐ并且ｑ＂，记作ｐ∧ｑ．当ｐ和ｑ都为真时，ｐ∧ｑ为真，否则为假．
析取
令ｐ和ｑ为命题，ｐ和ｑ的析取即命题＂ｐ或ｑ＂，记作ｐ∨ｑ．当ｐ和ｑ均为假时，析取命题ｐ∨ｑ为假，否则为真．
兼或： 在析取中，使用的联接词或（or）,和生活中的＂或＂字，意思差不多，表示＂两种情况之一＂，即兼或（inclusive or）．只要两命题中的某一个命题或两者均为真，析取式即为真． 例如某一岗位要求是熟练Ｃ语言或python,那么你只要会其中一个或者两个都会，就可以去应聘这一岗位．
异或： 同时，还有一种叫异或（exclusive or），它表示的意思是：两命题都为真或两者都为假时，复合命题为假，否则为真．例如，你面前有两条路，你不能都选或者都不选，你只能选择其中一条路走下去．
条件语句
令ｐ和ｑ为命题，条件语句ｐ→ｑ是命题＂如果ｐ，则ｑ＂．当ｐ为真时而ｑ为假时，条件语句ｐ→ｑ为假，否则为真． 在条件语句ｐ→ｑ中，ｐ被称为假设（前件，前提），ｑ被称为结论（后件）．
要理解条件语句，一个生活中的例子足以：
你的朋友告诉你＂如果不下雨，他就来找你＂．
这里，ｐ表示＂不下雨＂，ｑ表示它来找你．当ｐ为真而ｑ为假时，则ｐ→ｑ为假．换句话说，如果不下雨，但你朋友也没有来找你．那么，你就会觉得你的朋友说得那句话是假的．
但是呢，如果下雨了，你朋友还来找你（即p为假，ｑ为真）；如果下雨了，你朋友没来找你（即ｐ为假，ｑ也为假）；如果没有下雨了，你朋友来找你（即ｐ为真，ｑ也为真）．在这三中情况，你都不会觉得你朋友说了假话．
由于条件语句在数学推理中具有很重要的作用，因此，表达ｐ→ｑ的术语也很多．常见的有：
１．＂如果ｐ，则ｑ＂ ＂ｐ蕴含ｑ＂
２．＂ｐ是ｑ的充分条件＂ ＂ｑ是ｐ的必要条件＂
３．＂ｐ仅当ｑ＂ ＂ｑ除非﹁ｐ＂
这里要说的是：
- p仅当ｑ：要有p,则必须要有q.q就是p的必要条件.
- ｑ除非﹁ｐ：直白的说，这里的意思就是如果ｐ，则ｑ．但要仔细理解，可以这么想，除非﹁ｐ为真，否则ｑ必为真．换句话说就是，除非，ｐ为假，否则ｑ必为真．再进一步，这句话的意思即就是：ｐ为真时，ｐ必为真．所以，兜来兜去，还是回到最初的概念：当ｐ为真时而ｑ为假时，条件语句ｐ→ｑ为假，否则为真．
注意: 条件语句作为一个数学概念不依赖于假设和结论之间的因果关系．我们关于条件语句的定义规定了它的真值，而着一定义不是以语言的用法为基础的．命题语言是一种人工语言，这里为了便于使用和记忆，才将其类比于语言的用法．
换句话说：在数学概念中来看，如果ｐ，则ｑ．ｐ和ｑ之间不一定要存在因果关系．比如：＂如果２＋１＝３，那么我爱计算机＂，这一条件语句为真因为２＋１＝３确实是正确的．我爱计算机也是正确的（是的，我确定我爱计算机），但是２＋１＝３和我爱计算机并没有什么因果关系．
充分条件和必要条件
充分条件和必要条件是两个很容易混淆的概念，因此，在这里也简单记录一下搜索而来的东西，请酌情阅读．参考这里.（建议点开看一下，更加原味和全面）
A的 必要条件 就是A可以推出的 结论
A的 充分条件 就是可以推出Ａ的 前提．
充分条件： 只要有Ａ，就一定有Ｂ．由Ａ完全可以推出Ｂ，即Ａ是Ｂ的充分条件．
充分不必要条件： 只要有Ａ，就有Ｂ．但没有Ａ，也可能有Ｂ．即Ａ是Ｂ的充分不必要条件．
分析：图中,A,C,D都是Ｂ的充分不必要条件．
举例：举例：某次考试，试卷满分为100分。小明考了90分。对于“及格”这件事来说，90分是“充分条件”；再细致一点说的话，“及格”并不需要90分那么多，就算再少一点，也可能及格，也就是说，90分是及格的“充分不必要条件”。
必要条件： 如果能做到A，则必定做到了B，B是A的必要条件。(你能说话，则必定做到了＂声带正常＂，声带正常是你说话的必要条件)．
必要不充分条件： 如果能做到A，则必定能做到B，但如果只做到B的话，还不够做到A。（你能说话，则必定做到了声带正常，声带正常是你说话的必要条件．但你如果你只做到声带正常，,D你不一定能说话（还得大脑正常））．
分析：A,C,D都是Ｂ的必要不充分条件．
举例：某次考试，满分为100分，第一道的分值为41分（或41分以上），题目是个单选题：“本门课的任课老师是谁？”备选项是4张大头照。
小明如果想及格，则必须做对这道单选题。也就是说，做对第一题是这堂考试及格的必要条件。可问题是小明经常翘课，只在考前最后一堂课时奔着“划重点”的目标去点个卯，结果老师说“俺向来不给划重点”，恨得小明牙痒痒地，一边百无聊赖地转笔，一边死盯着老师的脸，心里恨恨地想着“我从未见过如此厚颜无耻之人”。所以呢，到了考试时，虽然第一题做对了，但后面的题目完全无从下笔。也就是说，做对第一题是这堂考试及格的必要不充分条件。
充要条件： 如果能做到A，则必定能做到B；如果做到了B，则必定能做到A，A、B互为对方的充要条件.
举例：某次考试，满分为100分，出题老师玩了一把行为艺术，第一道题的分值为60分（或60分以上），题目仍然是那道“本门课的任课老师是谁”的单选题.
如果想及格，就必须做对这道题；如果做对了这道题，则必然能及格。也就是说“做对这道题”与“这次考试及格”互为“充要条件”。
既不充分又不必要条件:
直接看例子：
还是那门课考试，结果呢学校的有关部门提前核查了一下试卷，对出题老师的行为艺术提出了异议，于是出题老师修改了分值，保留了那道单选题，但改成了10分（只要40分以下都可以）。
于是班上有的人上过课（经常上课或偶尔上课都可以），做对了第一题，但后面的题目丢分太多，总分达不到60，仍然不及格；班上还有学神学霸，虽然从不上课，第一题猜答案时也猜错了，但后面的题目基本上都做对了，总分在60分以上。
也就是说，对于这个班的学生来说，“做对第一题”是“考试及格”的既不充分又不必要条件。