二叉查找树

二叉查找树(Binary Search Tree)也称二叉搜索树、有序二叉树（ordered binary tree），排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
• 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。 

支持的操作:

• 遍历
• 查询
  • 查找
  • 最大关键字元素和最小关键字元素
  • 后继和前驱
• 插入和删除

伪代码:

x = T.root

遍历

//中序遍历
Inorder-Tree-Walk(x)
    if x ≠ NIL
        Inorder-Tree-Walk(x.left)
        print x.key
        Inorder-Tree-Walk(x.right)

查找

//递归版
Tree-Search(x,k)
    if x == NIL or k == x.key
        return x
    if k < x.key
        return Tree-Search(x.left,k)
    else
        return Tree-Search(x.right,k)
//迭代版
Iterative-Tree-Search(x,k)
    while x ≠ NIL and k ≠ x.key
        if k < x.key
            x = x.left
         else
            x = x.right
    return x

最大关键字元素和最小关键字元素

//最小关键字元素
Tree-Min(x)
    while x.left ≠ NIL
        x = x.left
    return x
//最大关键字元素
Tree-Max(x)
    while x.left ≠ NIL
        x = x.right
    return x

后继和前驱

//中序遍历后继
Tree-Successor(x)
    if x.right ≠ NIL//x有右孩子,则后继是其右孩子的最小关键字元素
        return Tree-Min(x.right)
    //x无右孩子,若x是左孩子,则后继是其父结点,若x是右孩子,则后继是x的有左孩子的最底层祖先,可能不存在(NIL)
    y = x.p
    while y ≠ NIL and x == y.right
        x = y
        y = y.p
    return y
//中序遍历前驱
Tree-Predeccessor(x)
    if x.left ≠ NIL//x有左孩子,则后继是其左孩子的最大关键字元素
        return Tree-Max(x.left)
    //x无左孩子,如果当前结点是其父亲的右孩子，则该父亲是其前驱
    y = x.p
    while y ≠ NIL and x==y.left
        x = y
        y = y.p
    return y

插入

//先找到插入位置,再确定插入结点是左孩子、右孩子还是树根,每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点
Tree-Insert(T,z)
    y = NIL//记录z父结点
    x = T.root//记录z的插入位置
    while x ≠ NIL
        y = x
        if z.key < x.key
            x = x.left
        else
            x = x.right
    z.p = y
    if y == NIL
        T.root = z
    else if z.key < y.key
        y.left = z
    else
        y.right = z

删除

//用子树v替换子树u,并建立v与u.p的父子关系
Transplant(T,u,v)
    if u.p == NIL
        T.root = v
    else if u == u.p.left
        u.p.left = v
    else
        u.p.right = v
    if v ≠ NIL
        v.p = u.p
//删除,分三种情况
Tree-Delete(T,z)
    if z.left == NIL//左子树为空
        Transplant(T,z,z.right)
    else if z.right == NIL//右子树为空
        Transplant(T,z,z.left)
    else//又分两种情况
        y = Tree-Min(z.right)//z的后继
        if y.p ≠ z//y不是z的右孩子就将其转换成右孩子
            Transplant(T,y,y,right)
            y.right = z.right
            y.right.p = y
        Transplant(T,z,y)
        y.left = z.left//建立y与z.left的父子关系
        y.left.p = y

时间复杂度:二叉查找树search,minimum,maximum,predecessor,successor,insert,delete的时间复杂度T(n)=O(h),O(lg n)=<h<=O(n)为树的高度,最差性能为O(n),最好性能为O(lg n)。可以证明n个不同关键字随机构建的二叉搜索树的期望高度为O(lg n).故平均性能接近最好性能，即T(n)=O(lg n).

中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列。 

每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。