接上一篇博客《为什么会有补码？》，我仅仅分析了整数在计算机中表示方式，但是计算机中的浮点数又是如何表示的呢？
引子
首先，使用之前博客的程序，可以看到如下的这些实数在计算机中的计算结果是
| 实际数值 | 数值类型 | 计算机中的表示 |
|---|---|---|
| 102.3235 | float | 42CCA5A2 |
| -3.256 | float | C050624E |
| 120.254 | double | 405E104189374BC7 |
| -56.2441 | double | C04C1F3EAB367A10 |
右边的计算机中的数值表示是按照《IEEE 754-2008》的标准存储数据的，具体的规定如下所示。
IEEE 754 标准
表示形式
IEEE 754 规定了二进制浮点数在计算中的存储方式，我们以 C 语言中的 float 为例来具体说明。无论是 32 位系统还是 64 位系统，计算机中的 float 占用 4 个字节，我们就使用这些字节来存储任意的浮点数，可以参考下图
转化成对应的数学表示形式，浮点数 V
[V = (-1)^s imes M imes 2^E
]
- s表示符号位，占据 1 个 bit 位，如果是负数则 s=1s=1，如果是非负数则 s=0；
- M表示 mantissa，占据 23 个比特，表示有效数字，表示的数字介于 1 和 2 之间；
- E为非负整数，表示基于 2 为基数的指数大小，占据 8 个比特。
因此，如果确认了上面 3 个参数，也就唯一确定了浮点数在计算机中的存储形式。我们以102.3235为例，来看看上面的这几个数字是如何表示出来的？
102.3235的二进制原码形式是1100110.01010010110100001110 = 1.10011001010010110100001110*2^6；- 确认 s。因为是正数，因此 s=0。
- 确认 M。M 表示
1.xxxxxx之后的xxxxxx的部分，即计算机内部保存M时，默认表示的第一位总是1，可以舍弃表示1的这一位，而仅仅存储小数点之后的部分。因此 M=10011001010010110100001110，因为只能存储23个比特，将多余的位数部分截断得到 M=10011001010010110100001。 - 确认 E。它是个非负整数，按照第 1 步计算出来的结果，我们的指数应该是 6。但是，IEEE 规定根据二进制计算浮点数时，需要给指数减去一个偏置值，对于 float 类型这个数为 127，对于 double 类型，这个数是 1023。因此反过来，在将数字转换成二进制存储的时候，要加上这个偏置值，因此 E=6+127=133。
- 综合以上的所有计算结果，最后在计算机中存储的形式是
01000010110011001010010110100001，转换成 16 进制就是42CCA5A2。
特别规定
依照上面的方法，可以依次确认其他 3 个浮点数的表示形式。这都是比较常规的规格化数据的处理方法，IEEE 针对一些特殊的数字（绝对值特别接近 0 的数字或者无穷大无穷小），引入了一些特殊的规定，称为非规格化表示方法，总结如下。
- 规格化数据。如果指数部分既不是 0 也不是 255（EE 不全为 0 或者不全为 1），就是规格化存储方式，具体的计算方法与之前介绍的相同。
- 非规格化数据。E全为0 就是非规格化的数据，此时的指数固定为 1-127 或者 1-1023，有效数字 MM 的计算不再舍弃第一位的 1，而是 0.xxxxxxxx 的小数部分，这样就可以表示 0 和非常接近 0 的小数字。需要注意的是，0 有两种表示。
- 特殊数字。E全为1 表示特殊的数字
- 如果M全为 0，表示无穷大，正负取决于符号s；
- 如果M不全为 0，表示这是一个非数 NaN(Not a Number)。
精度误差及表示范围
如果明白之前的内容，那就可以计算出来每种表示方法的取值范围以及表示的数据误差。在计算之前，有如下的一些假设：
- 正数和负数的表示方法是对称的，因此我们仅仅关注正数即可；
- 不考虑特殊值的计算，因为其仅仅是计算了不同几个数值，没有计算的价值。
如果需要计算最大的规格化数字，那么其在内存中的表示应该是 s=1,M=1.11…1，E=111…10，最后的结果就是 1.1111…1×2127=3.4×1038，其他的基本可以推测出来了，如下表所示
