洛谷P1072 Hankson 的趣味题

题目描述

Hanks 博士是 BT(Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1​ 和 c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数x 满足：

1． x 和 a0​ 的最大公约数是 a1​；

2． x 和 b0​ 的最小公倍数是b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入输出格式

输入格式：

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0​,a1​,b0​,b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0​ 能被 a1​ 整除，b1​ 能被b0​整除。

输出格式：

共 n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0；

若存在这样的x，请输出满足条件的x 的个数；

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出样例#1： 复制

6 
2

说明

【说明】

第一组输入数据，x可以是9,18,36,72,144,288，共有6 个。

第二组输入数据，x 可以是48,1776，共有 2 个。

【数据范围】

对于 50%的数据，保证有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤10000 且n≤100。

对于 100%的数据，保证有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤2,000,000,000 且 n≤2000。

NOIP 2009 提高组 第二题

 

/*
    这题是提高组T2，怎么会有蓝题这么难呢(逃)
    由题可得出gcd(x,a0) = a1和lcm(x,b0) = b1
    易证x/a1与a0/a1一定互素，即gcd(x/a1,a0/a1) = 1
    由唯一分解定理：gcd(a,b)*lcm(a,b) = a*b
    故gcd(x,b0) = x*b0/lcm(x,b0) = x*b0/b1
    由上面推理有gcd(x/(x*b0/b1),b0/(x*b0/b1)) = 1
    化简得到gcd(b1/b0,b1/x) = 1
    综合上面的式子反正a1是x的因子且b1是x的倍数
    考虑枚举b1的因子x，找到满足是a1的倍数
    且满足gcd(x/a1,a0/a1) = 1和gcd(b1/b0,b1/x) = 1两个式子的x即可
    另外还有枚举素数的方法，我觉得略麻烦诶
*/
#include <bits/stdc++.h>

int n;

int gcd(int a,int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);//辗转相除法求最大公约数
}

int main()
{
    int a0,a1,b0,b1;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        int ans = 0;
        scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1);
        for(int x = 1;x*x <= b1;x++){//x只需枚举到sqrt(x)即可
            if(b1 % x == 0){//判断x是否为b1的因子
                if(x%a1 == 0 && gcd(x/a1,a0/a1) == 1 && gcd(b1/b0,b1/x) == 1) ans++;
                int y = b1/x;//枚举b1的另一个因数y
                if(x == y) continue;//如果相等就重复了 此时跳出这一层循环
                if(y%a1 == 0 && gcd(y/a1,a0/a1) == 1 && gcd(b1/b0,b1/y) == 1) ans++;
            }
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}