它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)。直到扩展到终点为止。
基本思想
通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，须要指定起点s(即从顶点s開始计算)。
此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及对应的最短路径长度)。而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
初始时，S中仅仅有起点s；U中是除s之外的顶点，而且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其增加到S中；接着，更新U中的顶点和顶点相应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点。并将其增加到S中；接着，更新U中的顶点和顶点相应的路径。
... 反复该操作，直到遍历全然部顶点。
操作步骤
(1) 初始时，S仅仅包括起点s。U包括除s外的其它顶点。且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[比如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k增加到S中。同一时候，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离。是因为上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而能够利用k来更新其他顶点的距离；比如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 反复步骤(2)和(3)，直到遍历全然部顶点。
单纯的看上面的理论可能比較难以理解，以下通过实例来对该算法进行说明。
以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。
初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合。U是未计算除最短路径的顶点的集合。
第1步：将顶点D增加到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。
第2步：将顶点C增加到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C增加到S中，同一时候更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；可是将C增加到S之后。F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时。S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：将顶点E增加到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短。因此，将E增加到S中，同一时候更新U中顶点的距离。
还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9。可是将E增加到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：将顶点F增加到S中。
此时。S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：将顶点G增加到S中。
此时。S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：将顶点B增加到S中。
此时。S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：将顶点A增加到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
以"邻接矩阵"为例对迪杰斯特拉算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出对应的源代码。
// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
char vexs[MAX]; // 顶点集合
int vexnum; // 顶点数
int edgnum; // 边数
int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;
// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权重
}EData;Graph是邻接矩阵相应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数。edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。
比如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边相应的结构体。
2.
迪杰斯特拉算法
/* * Dijkstra最短路径。* 即。统计图(G)中"顶点vs"到其他各个顶点的最短路径。
* * 參数说明： * G -- 图 * vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其他顶点的最短路径。 * prev -- 前驱顶点数组。
即。prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的所有顶点中。位于"顶点i"之前的那个顶点。 * dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。 */ void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[]) { int i,j,k; int min; int tmp; int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
// 初始化 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) { flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。
prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。 dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。 } // 对"顶点vs"自身进行初始化 flag[vs] = 1; dist[vs] = 0; // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
for (i = 1; i < G.vexnum; i++) { // 寻找当前最小的路径； // 即。在未获取最短路径的顶点中。找到离vs近期的顶点(k)。 min = INF; for (j = 0; j < G.vexnum; j++) { if (flag[j]==0 && dist[j]<min) { min = dist[j]; k = j; } } // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径 flag[k] = 1; // 修正当前最短路径和前驱顶点 // 即。当已经"顶点k的最短路径"之后。更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。 for (j = 0; j < G.vexnum; j++) { tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出 if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) ) { dist[j] = tmp; prev[j] = k; } } } // 打印dijkstra最短路径的结果 printf("dijkstra(%c): ", G.vexs[vs]); for (i = 0; i < G.vexnum; i++) printf(" shortest(%c, %c)=%d ", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]); }
邻接矩阵源代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h>
#define MAX 100 // 矩阵最大容量
#define INF (~(0x1<<31)) // 最大值(即0X7FFFFFFF)
#define isLetter(a) ((((a)>='a')&&((a)<='z')) || (((a)>='A')&&((a)<='Z')))
#define LENGTH(a) (sizeof(a)/sizeof(a[0]))
// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
char vexs[MAX]; // 顶点集合
int vexnum; // 顶点数
int edgnum; // 边数
int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;
// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权重
}EData;
/*
* 返回ch在matrix矩阵中的位置
*/
static int get_position(Graph G, char ch)
{
int i;
for(i=0; i<G.vexnum; i++)
if(G.vexs[i]==ch)
return i;
return -1;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
static char read_char()
{
char ch;
do {
ch = getchar();
} while(!isLetter(ch));
return ch;
}
/*
* 创建图(自己输入)
*/
Graph* create_graph()
{
char c1, c2;
int v, e;
int i, j, weight, p1, p2;
Graph* pG;
// 输入"顶点数"和"边数"
printf("input vertex number: ");
scanf("%d", &v);
printf("input edge number: ");
scanf("%d", &e);
if ( v < 1 || e < 1 || (e > (v * (v-1))))
{
printf("input error: invalid parameters!
");
return NULL;
}
if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL )
return NULL;
memset(pG, 0, sizeof(Graph));
// 初始化"顶点数"和"边数"
pG->vexnum = v;
pG->edgnum = e;
// 初始化"顶点"
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
{
printf("vertex(%d): ", i);
pG->vexs[i] = read_char();
}
// 1. 初始化"边"的权值
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
{
if (i==j)
pG->matrix[i][j] = 0;
else
pG->matrix[i][j] = INF;
}
}
// 2. 初始化"边"的权值: 依据用户的输入进行初始化
for (i = 0; i < pG->edgnum; i++)
{
// 读取边的起始顶点，结束顶点。权值
printf("edge(%d):", i);
c1 = read_char();
c2 = read_char();
scanf("%d", &weight);
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2);
if (p1==-1 || p2==-1)
{
printf("input error: invalid edge!
");
free(pG);
return NULL;
}
pG->matrix[p1][p2] = weight;
pG->matrix[p2][p1] = weight;
}
return pG;
}
/*
* 创建图(用已提供的矩阵)
*/
Graph* create_example_graph()
{
char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int matrix[][9] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
int vlen = LENGTH(vexs);
int i, j;
Graph* pG;
// 输入"顶点数"和"边数"
if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL )
return NULL;
memset(pG, 0, sizeof(Graph));
// 初始化"顶点数"
pG->vexnum = vlen;
// 初始化"顶点"
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
pG->vexs[i] = vexs[i];
// 初始化"边"
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
pG->matrix[i][j] = matrix[i][j];
// 统计边的数目
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
if (i!=j && pG->matrix[i][j]!=INF)
pG->edgnum++;
pG->edgnum /= 2;
return pG;
}
/*
* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
static int first_vertex(Graph G, int v)
{
int i;
if (v<0 || v>(G.vexnum-1))
return -1;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF)
return i;
return -1;
}
/*
* 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引。失败则返回-1
*/
static int next_vertix(Graph G, int v, int w)
{
int i;
if (v<0 || v>(G.vexnum-1) || w<0 || w>(G.vexnum-1))
return -1;
for (i = w + 1; i < G.vexnum; i++)
if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF)
return i;
return -1;
}
/*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/
static void DFS(Graph G, int i, int *visited)
{
int w;
visited[i] = 1;
printf("%c ", G.vexs[i]);
// 遍历该顶点的全部邻接顶点。若是没有訪问过，那么继续往下走
for (w = first_vertex(G, i); w >= 0; w = next_vertix(G, i, w))
{
if (!visited[w])
DFS(G, w, visited);
}
}
/*
* 深度优先搜索遍历图
*/
void DFSTraverse(Graph G)
{
int i;
int visited[MAX]; // 顶点訪问标记
// 初始化全部顶点都没有被訪问
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0;
printf("DFS: ");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
//printf("
== LOOP(%d)
", i);
if (!visited[i])
DFS(G, i, visited);
}
printf("
");
}
/*
* 广度优先搜索（相似于树的层次遍历）
*/
void BFS(Graph G)
{
int head = 0;
int rear = 0;
int queue[MAX]; // 辅组队列
int visited[MAX]; // 顶点訪问标记
int i, j, k;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0;
printf("BFS: ");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
if (!visited[i])
{
visited[i] = 1;
printf("%c ", G.vexs[i]);
queue[rear++] = i; // 入队列
}
while (head != rear)
{
j = queue[head++]; // 出队列
for (k = first_vertex(G, j); k >= 0; k = next_vertix(G, j, k)) //k是为訪问的邻接顶点
{
if (!visited[k])
{
visited[k] = 1;
printf("%c ", G.vexs[k]);
queue[rear++] = k;
}
}
}
}
printf("
");
}
/*
* 打印矩阵队列图
*/
void print_graph(Graph G)
{
int i,j;
printf("Martix Graph:
");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
printf("%10d ", G.matrix[i][j]);
printf("
");
}
}
/*
* prim最小生成树
*
* 參数说明：
* G -- 邻接矩阵图
* start -- 从图中的第start个元素開始。生成最小树
*/
void prim(Graph G, int start)
{
int min,i,j,k,m,n,sum;
int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引
char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组
int weights[MAX]; // 顶点间边的权值
// prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"。由于是从start開始的。
prims[index++] = G.vexs[start];
// 初始化"顶点的权值数组"，
// 将每一个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )
weights[i] = G.matrix[start][i];
// 将第start个顶点的权值初始化为0。
// 能够理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。
weights[start] = 0;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
// 由于从start開始的，因此不须要再对第start个顶点进行处理。
if(start == i)
continue;
j = 0;
k = 0;
min = INF;
// 在未被增加到最小生成树的顶点中。找出权值最小的顶点。
while (j < G.vexnum)
{
// 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经增加了最小生成树中)。
if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
{
min = weights[j];
k = j;
}
j++;
}
// 经过上面的处理后。在未被增加到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。
// 将第k个顶点增加到最小生成树的结果数组中
prims[index++] = G.vexs[k];
// 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经增加了最小树结果中)。
weights[k] = 0;
// 当第k个顶点被增加到最小生成树的结果数组中之后。更新其他顶点的权值。
for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)
{
// 当第j个节点没有被处理。而且须要更新时才被更新。
if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j])
weights[j] = G.matrix[k][j];
}
}
// 计算最小生成树的权值
sum = 0;
for (i = 1; i < index; i++)
{
min = INF;
// 获取prims[i]在G中的位置
n = get_position(G, prims[i]);
// 在vexs[0...i]中。找出到j的权值最小的顶点。
for (j = 0; j < i; j++)
{
m = get_position(G, prims[j]);
if (G.matrix[m][n]<min)
min = G.matrix[m][n];
}
sum += min;
}
// 打印最小生成树
printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum);
for (i = 0; i < index; i++)
printf("%c ", prims[i]);
printf("
");
}
/*
* 获取图中的边
*/
EData* get_edges(Graph G)
{
int i,j;
int index=0;
EData *edges;
edges = (EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData));
for (i=0;i < G.vexnum;i++)
{
for (j=i+1;j < G.vexnum;j++)
{
if (G.matrix[i][j]!=INF)
{
edges[index].start = G.vexs[i];
edges[index].end = G.vexs[j];
edges[index].weight = G.matrix[i][j];
index++;
}
}
}
return edges;
}
/*
* 对边依照权值大小进行排序(由小到大)
*/
void sorted_edges(EData* edges, int elen)
{
int i,j;
for (i=0; i<elen; i++)
{
for (j=i+1; j<elen; j++)
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
// 交换"第i条边"和"第j条边"
EData tmp = edges[i];
edges[i] = edges[j];
edges[j] = tmp;
}
}
}
}
/*
* 获取i的终点
*/
int get_end(int vends[], int i)
{
while (vends[i] != 0)
i = vends[i];
return i;
}
/*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/
void kruskal(Graph G)
{
int i,m,n,p1,p2;
int length;
int index = 0; // rets数组的索引
int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每一个顶点在该最小树中的终点。
EData rets[MAX]; // 结果数组。保存kruskal最小生成树的边
EData *edges; // 图相应的全部边
// 获取"图中全部的边"
edges = get_edges(G);
// 将边依照"权"的大小进行排序(从小到大)
sorted_edges(edges, G.edgnum);
for (i=0; i<G.edgnum; i++)
{
p1 = get_position(G, edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号
p2 = get_position(G, edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号
m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
// 假设m!=n，意味着"边i"与"已经增加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
rets[index++] = edges[i]; // 保存结果
}
}
free(edges);
// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
length = 0;
for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight;
printf("Kruskal=%d: ", length);
for (i = 0; i < index; i++)
printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);
printf("
");
}
/*
* Dijkstra最短路径。
* 即。统计图(G)中"顶点vs"到其他各个顶点的最短路径。
*
* 參数说明：
* G -- 图
* vs -- 起始顶点(start vertex)。
即计算"顶点vs"到其他顶点的最短路径。
* prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
* dist -- 长度数组。即。dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/
void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
{
int i,j,k;
int min;
int tmp;
int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
// 初始化
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。
prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。
dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
}
// 对"顶点vs"自身进行初始化
flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0;
// 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
{
// 寻找当前最小的路径；
// 即。在未获取最短路径的顶点中，找到离vs近期的顶点(k)。
min = INF;
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
{
min = dist[j];
k = j;
}
}
// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
flag[k] = 1;
// 修正当前最短路径和前驱顶点
// 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
}
// 打印dijkstra最短路径的结果
printf("dijkstra(%c):
", G.vexs[vs]);
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
printf(" shortest(%c, %c)=%d
", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
}
void main()
{
int prev[MAX] = {0};
int dist[MAX] = {0};
Graph* pG;
// 自己定义"图"(输入矩阵队列)
//pG = create_graph();
// 採用已有的"图"
pG = create_example_graph();
//print_graph(*pG); // 打印图
//DFSTraverse(*pG); // 深度优先遍历
//BFS(*pG); // 广度优先遍历
//prim(*pG, 0); // prim算法生成最小生成树
//kruskal(*pG); // kruskal算法生成最小生成树
// dijkstra算法获取"第4个顶点"到其他各个顶点的最短距离
dijkstra(*pG, 3, prev, dist);
}
邻接表源代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h>
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31)) // 最大值(即0X7FFFFFFF)
#define isLetter(a) ((((a)>='a')&&((a)<='z')) || (((a)>='A')&&((a)<='Z')))
#define LENGTH(a) (sizeof(a)/sizeof(a[0]))
// 邻接表中表相应的链表的顶点
typedef struct _ENode
{
int ivex; // 该边的顶点的位置
int weight; // 该边的权
struct _ENode *next_edge; // 指向下一条弧的指针
}ENode, *PENode;
// 邻接表中表的顶点
typedef struct _VNode
{
char data; // 顶点信息
ENode *first_edge; // 指向第一条依附该顶点的弧
}VNode;
// 邻接表
typedef struct _LGraph
{
int vexnum; // 图的顶点的数目
int edgnum; // 图的边的数目
VNode vexs[MAX];
}LGraph;
/*
* 返回ch在matrix矩阵中的位置
*/
static int get_position(LGraph G, char ch)
{
int i;
for(i=0; i<G.vexnum; i++)
if(G.vexs[i].data==ch)
return i;
return -1;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
static char read_char()
{
char ch;
do {
ch = getchar();
} while(!isLetter(ch));
return ch;
}
/*
* 将node链接到list的末尾
*/
static void link_last(ENode *list, ENode *node)
{
ENode *p = list;
while(p->next_edge)
p = p->next_edge;
p->next_edge = node;
}
/*
* 创建邻接表相应的图(自己输入)
*/
LGraph* create_lgraph()
{
char c1, c2;
int v, e;
int i, p1, p2;
int weight;
ENode *node1, *node2;
LGraph* pG;
// 输入"顶点数"和"边数"
printf("input vertex number: ");
scanf("%d", &v);
printf("input edge number: ");
scanf("%d", &e);
if ( v < 1 || e < 1 || (e > (v * (v-1))))
{
printf("input error: invalid parameters!
");
return NULL;
}
if ((pG=(LGraph*)malloc(sizeof(LGraph))) == NULL )
return NULL;
memset(pG, 0, sizeof(LGraph));
// 初始化"顶点数"和"边数"
pG->vexnum = v;
pG->edgnum = e;
// 初始化"邻接表"的顶点
for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
{
printf("vertex(%d): ", i);
pG->vexs[i].data = read_char();
pG->vexs[i].first_edge = NULL;
}
// 初始化"邻接表"的边
for(i=0; i<pG->edgnum; i++)
{
// 读取边的起始顶点,结束顶点,权
printf("edge(%d): ", i);
c1 = read_char();
c2 = read_char();
scanf("%d", &weight);
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2);
// 初始化node1
node1 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node1->ivex = p2;
node1->weight = weight;
// 将node1链接到"p1所在链表的末尾"
if(pG->vexs[p1].first_edge == NULL)
pG->vexs[p1].first_edge = node1;
else
link_last(pG->vexs[p1].first_edge, node1);
// 初始化node2
node2 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node2->ivex = p1;
node2->weight = weight;
// 将node2链接到"p2所在链表的末尾"
if(pG->vexs[p2].first_edge == NULL)
pG->vexs[p2].first_edge = node2;
else
link_last(pG->vexs[p2].first_edge, node2);
}
return pG;
}
// 边的结构体
typedef struct _edata
{
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权重
}EData;
// 顶点
static char gVexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
// 边
static EData gEdges[] = {
// 起点 终点 权
{'A', 'B', 12},
{'A', 'F', 16},
{'A', 'G', 14},
{'B', 'C', 10},
{'B', 'F', 7},
{'C', 'D', 3},
{'C', 'E', 5},
{'C', 'F', 6},
{'D', 'E', 4},
{'E', 'F', 2},
{'E', 'G', 8},
{'F', 'G', 9},
};
/*
* 创建邻接表相应的图(用已提供的数据)
*/
LGraph* create_example_lgraph()
{
char c1, c2;
int vlen = LENGTH(gVexs);
int elen = LENGTH(gEdges);
int i, p1, p2;
int weight;
ENode *node1, *node2;
LGraph* pG;
if ((pG=(LGraph*)malloc(sizeof(LGraph))) == NULL )
return NULL;
memset(pG, 0, sizeof(LGraph));
// 初始化"顶点数"和"边数"
pG->vexnum = vlen;
pG->edgnum = elen;
// 初始化"邻接表"的顶点
for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
{
pG->vexs[i].data = gVexs[i];
pG->vexs[i].first_edge = NULL;
}
// 初始化"邻接表"的边
for(i=0; i<pG->edgnum; i++)
{
// 读取边的起始顶点,结束顶点,权
c1 = gEdges[i].start;
c2 = gEdges[i].end;
weight = gEdges[i].weight;
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2);
// 初始化node1
node1 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node1->ivex = p2;
node1->weight = weight;
// 将node1链接到"p1所在链表的末尾"
if(pG->vexs[p1].first_edge == NULL)
pG->vexs[p1].first_edge = node1;
else
link_last(pG->vexs[p1].first_edge, node1);
// 初始化node2
node2 = (ENode*)malloc(sizeof(ENode));
node2->ivex = p1;
node2->weight = weight;
// 将node2链接到"p2所在链表的末尾"
if(pG->vexs[p2].first_edge == NULL)
pG->vexs[p2].first_edge = node2;
else
link_last(pG->vexs[p2].first_edge, node2);
}
return pG;
}
/*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/
static void DFS(LGraph G, int i, int *visited)
{
int w;
ENode *node;
visited[i] = 1;
printf("%c ", G.vexs[i].data);
node = G.vexs[i].first_edge;
while (node != NULL)
{
if (!visited[node->ivex])
DFS(G, node->ivex, visited);
node = node->next_edge;
}
}
/*
* 深度优先搜索遍历图
*/
void DFSTraverse(LGraph G)
{
int i;
int visited[MAX]; // 顶点訪问标记
// 初始化全部顶点都没有被訪问
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0;
printf("DFS: ");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
if (!visited[i])
DFS(G, i, visited);
}
printf("
");
}
/*
* 广度优先搜索（相似于树的层次遍历）
*/
void BFS(LGraph G)
{
int head = 0;
int rear = 0;
int queue[MAX]; // 辅组队列
int visited[MAX]; // 顶点訪问标记
int i, j, k;
ENode *node;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0;
printf("BFS: ");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
if (!visited[i])
{
visited[i] = 1;
printf("%c ", G.vexs[i].data);
queue[rear++] = i; // 入队列
}
while (head != rear)
{
j = queue[head++]; // 出队列
node = G.vexs[j].first_edge;
while (node != NULL)
{
k = node->ivex;
if (!visited[k])
{
visited[k] = 1;
printf("%c ", G.vexs[k].data);
queue[rear++] = k;
}
node = node->next_edge;
}
}
}
printf("
");
}
/*
* 打印邻接表图
*/
void print_lgraph(LGraph G)
{
int i,j;
ENode *node;
printf("List Graph:
");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
printf("%d(%c): ", i, G.vexs[i].data);
node = G.vexs[i].first_edge;
while (node != NULL)
{
printf("%d(%c) ", node->ivex, G.vexs[node->ivex].data);
node = node->next_edge;
}
printf("
");
}
}
/*
* 获取G中边<start, end>的权值；若start和end不是连通的，则返回无穷大。
*/
int get_weight(LGraph G, int start, int end)
{
ENode *node;
if (start==end)
return 0;
node = G.vexs[start].first_edge;
while (node!=NULL)
{
if (end==node->ivex)
return node->weight;
node = node->next_edge;
}
return INF;
}
/*
* prim最小生成树
*
* 參数说明：
* G -- 邻接表图
* start -- 从图中的第start个元素開始，生成最小树
*/
void prim(LGraph G, int start)
{
int min,i,j,k,m,n,tmp,sum;
int index=0; // prim最小树的索引。即prims数组的索引
char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组
int weights[MAX]; // 顶点间边的权值
// prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"。由于是从start開始的。
prims[index++] = G.vexs[start].data;
// 初始化"顶点的权值数组"，
// 将每一个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )
weights[i] = get_weight(G, start, i);
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
// 由于从start開始的，因此不须要再对第start个顶点进行处理。
if(start == i)
continue;
j = 0;
k = 0;
min = INF;
// 在未被增加到最小生成树的顶点中。找出权值最小的顶点。
while (j < G.vexnum)
{
// 若weights[j]=0。意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经增加了最小生成树中)。
if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
{
min = weights[j];
k = j;
}
j++;
}
// 经过上面的处理后，在未被增加到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。
// 将第k个顶点增加到最小生成树的结果数组中
prims[index++] = G.vexs[k].data;
// 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经增加了最小树结果中)。
weights[k] = 0;
// 当第k个顶点被增加到最小生成树的结果数组中之后，更新其他顶点的权值。
for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)
{
// 获取第k个顶点到第j个顶点的权值
tmp = get_weight(G, k, j);
// 当第j个节点没有被处理，而且须要更新时才被更新。
if (weights[j] != 0 && tmp < weights[j])
weights[j] = tmp;
}
}
// 计算最小生成树的权值
sum = 0;
for (i = 1; i < index; i++)
{
min = INF;
// 获取prims[i]在G中的位置
n = get_position(G, prims[i]);
// 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。
for (j = 0; j < i; j++)
{
m = get_position(G, prims[j]);
tmp = get_weight(G, m, n);
if (tmp < min)
min = tmp;
}
sum += min;
}
// 打印最小生成树
printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start].data, sum);
for (i = 0; i < index; i++)
printf("%c ", prims[i]);
printf("
");
}
/*
* 获取图中的边
*/
EData* get_edges(LGraph G)
{
int i,j;
int index=0;
ENode *node;
EData *edges;
edges = (EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData));
for (i=0; i<G.vexnum; i++)
{
node = G.vexs[i].first_edge;
while (node != NULL)
{
if (node->ivex > i)
{
edges[index].start = G.vexs[i].data; // 起点
edges[index].end = G.vexs[node->ivex].data; // 终点
edges[index].weight = node->weight; // 权
index++;
}
node = node->next_edge;
}
}
return edges;
}
/*
* 对边依照权值大小进行排序(由小到大)
*/
void sorted_edges(EData* edges, int elen)
{
int i,j;
for (i=0; i<elen; i++)
{
for (j=i+1; j<elen; j++)
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
// 交换"第i条边"和"第j条边"
EData tmp = edges[i];
edges[i] = edges[j];
edges[j] = tmp;
}
}
}
}
/*
* 获取i的终点
*/
int get_end(int vends[], int i)
{
while (vends[i] != 0)
i = vends[i];
return i;
}
/*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/
void kruskal(LGraph G)
{
int i,m,n,p1,p2;
int length;
int index = 0; // rets数组的索引
int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每一个顶点在该最小树中的终点。
EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
EData *edges; // 图相应的全部边
// 获取"图中全部的边"
edges = get_edges(G);
// 将边依照"权"的大小进行排序(从小到大)
sorted_edges(edges, G.edgnum);
for (i=0; i<G.edgnum; i++)
{
p1 = get_position(G, edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号
p2 = get_position(G, edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号
m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
// 假设m!=n，意味着"边i"与"已经增加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
rets[index++] = edges[i]; // 保存结果
}
}
free(edges);
// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
length = 0;
for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight;
printf("Kruskal=%d: ", length);
for (i = 0; i < index; i++)
printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);
printf("
");
}
/*
* Dijkstra最短路径。
* 即。统计图(G)中"顶点vs"到其他各个顶点的最短路径。
*
* 參数说明：
* G -- 图
* vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其他顶点的最短路径。
* prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
* dist -- 长度数组。即。dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/
void dijkstra(LGraph G, int vs, int prev[], int dist[])
{
int i,j,k;
int min;
int tmp;
int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
// 初始化
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。
prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。
dist[i] = get_weight(G, vs, i); // 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
}
// 对"顶点vs"自身进行初始化
flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0;
// 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
{
// 寻找当前最小的路径；
// 即，在未获取最短路径的顶点中。找到离vs近期的顶点(k)。
min = INF;
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
{
min = dist[j];
k = j;
}
}
// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
flag[k] = 1;
// 修正当前最短路径和前驱顶点
// 即，当已经"顶点k的最短路径"之后。更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
tmp = get_weight(G, k, j);
tmp = (tmp==INF ? INF : (min + tmp)); // 防止溢出
if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
}
// 打印dijkstra最短路径的结果
printf("dijkstra(%c):
", G.vexs[vs].data);
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
printf(" shortest(%c, %c)=%d
", G.vexs[vs].data, G.vexs[i].data, dist[i]);
}
void main()
{
int prev[MAX] = {0};
int dist[MAX] = {0};
LGraph* pG;
// 自己定义"图"(自己输入数据)
//pG = create_lgraph();
// 採用已有的"图"
pG = create_example_lgraph();
//print_lgraph(*pG); // 打印图
//DFSTraverse(*pG); // 深度优先遍历
//BFS(*pG); // 广度优先遍历
//prim(*pG, 0); // prim算法生成最小生成树
//kruskal(*pG); // kruskal算法生成最小生成树
// dijkstra算法获取"第4个顶点"到其他各个顶点的最短距离
dijkstra(*pG, 3, prev, dist);
}