世界杯座位选择顺序总数

1. 问题

如果世界杯观看台上有n个座位，游客们来到这里自由占位。普通情况下，一个游客首先考虑的座位肯定是两边都没人的座位。其次考虑的是一边没人的座位。最后没得考虑，仅仅能随便选一张两边都是人的座位。 如果有n个游客依次到场占位，每一个人都是依照上述规则选择自己的位子。求这n个游客占位的可能顺序有多少种？

输入描写叙述： 有多组測试数据。每组測试数据包含一个正整数n(0<n<1000000)。

输出描写叙述：对于每组数据。因为答案可能会非常大，所以输出：答案%1000000007

2. 分析

须要注意的是：观众来的顺序是固定的，场地是环形的。

分析：第一批（前几位）观众肯定选择两边没有人的位置，第二批（接下来）的观众肯定选择一边没有人的，第三批（最后）仅仅能选择两边都有人的座位。因此我们能够按批次安排这n个人。即先安排第一批。再安排第二批。最后安排第三批。

定义：当座位为{有人、无人、无人、有人}时。称这四个座位为TB模块。每一个TB模块间隔2个空座位。n为座位数。tb为TB模块个数。interval为间隔个数。

第一批：第一批观众入座之后需保证剩下的全部空座位至少一边有人。

第二批：安排仅仅有一边没有人的座位。易得这样座位的个数与TB模块个数m的两倍同样，则共同拥有2^m*m!种顺序。

第三批：安排两边均有人的c个座位。

显然共同拥有c!种顺序。

我们依照TB模块的个数分情况讨论，则对于每种情况共同拥有：p_i=(n*C_interval^tb*(interval-1)!)*(2^tb*tb!)*((n-interval-tb)!)种情况顺序。当中(n*C_interval^tb*(interval-1)!)为第一批。(2^tb*tb!)为第二批，((n-interval-tb)!)为第三批。对于第一批来说共同拥有interval个间隔，当中tb个TB模块。因此共同拥有C_interval^tb种座位间隔安排方式，第一个人已经选定位置，因此其它(interval-1)个人共同拥有(interval-1)。种顺序，因此第一批共同拥有n*C_interval^tb*(interval-1)!种顺序。对于第二批共同拥有tb个TB模块，则共同拥有2^tb种安排顺序，tb个人共同拥有tb!个顺序。因此共同拥有2^tb*tb!种顺序。

剩余的第三批共同拥有n-interval-tb个座位，因此共同拥有(n-interval-tb)!种顺序。

全部情况顺序数之和即为终于结果。易得当n为奇数时。tb最小值为1；反之，tb最小值为0。

例1：如果有8个座位，

(1) 情况一：不存在TB模块。第一个人共同拥有8种选择。当第一个人选定后，其他3个座位也固定下来（如：第一个人选择位置1，则另外三个座位肯定是3, 5, 7）。而接下来的这三个人能够有3！种顺序。

因此，可得第一批人第一种情况共8*C₄⁰*3！

种顺序。不存在TB模块即不存在第二批安排。

最后须要安排的第三批座位数为4，共同拥有4！种顺序。由上可得情况一共同拥有p₁=8*3!*4!种顺序。

(2) 情况二：存在2个TB模块。

简单分析可得不存在一个TB模块的情况。

此时间隔数为(8-3*2)/2+2=3个。即一个间隔为1，2个间隔为2。当第一个人固定后。间隔共同拥有C₃²种分配方案，则该种情况共同拥有8*C₃²*2!种情况。易得安排第二批人共同拥有2²*2。种顺序，第三批人共同拥有3！种顺序。则情况二共同拥有p₂=(8*C₃²*2!)*(2²*2!)*(3!)种顺序。

(3) 情况三：存在4个TB模块。

显然对于8不可能，因此第一批人分情况处理完毕。

综上，当座位数为8时共同拥有p₁+p₂种顺序。

注意：上述中每种情况均添加两个TB模块，直到达到TB模块的上界。则执行终止。

例2：如果有9个座位，

情况一：存在1个TB模块。间隔个数为(9-3*1)/2+1=4个，即3个间隔座位数为1，1个间隔座位数2。当第一个人选定后间隔共同拥有C₄¹种分配方案。则该种共同拥有9*C₄¹*3!种顺序。显然安排第二批人共同拥有2¹*1！

种情况，第三批人共同拥有4！种顺序。

则情况一共同拥有p₃=(9*C₄¹*3!)*(2¹*1！)*(4!)种顺序。

情况二：存在3个TB模块。

间隔个数为(9-3*3)/2+3=3个，即0个间隔座位为1。3个间隔座位数为2。

当第一个人选定后间隔共同拥有C₃³种分配方案，则第一批共同拥有9*C₃³*2!中顺序。易得，第二批人共同拥有2³*3。种顺序。第三批人共同拥有3！

种顺序。

则情况二共同拥有p₄=(9*C₃³*2!)*(2³*3！)*(3!)种顺序。

情况三：显然不存在5个TB模块。

执行终止。

综上，当座位数为9时共同拥有p=p₃+p₄种顺序。

由例1与例2可得，当座位数为奇数与偶数时，情况不同。同样的是每种情况递增2个TB模块。

3. 实现

n为座位数。tb为TB模块个数。interval为间隔个数。num为全部观众的顺序。则对于每一种情况均有p_i=(n*C_interval^tb*(interval-1)!)*(2^tb*tb!)*((n-interval-tb)!)。

伪代码：

input: n

output: num

num = 0;

if n is odd

     tb = 1;

else

    tb = 0;

interval = (n-3*tb)/2 + tb;

while n ≥ 3*tb

       p=(n*C_interval^tb*(interval-1)!)*(2^tb*tb!)*((n-interval-tb)!);

       num += p;

       tb += 2;

      interval--;

 return num;

4. 遗留问题

当仅仅需保留余数时，阶乘的余数能够在每次相乘之前取余。即(a*b)%c =((a%c)*(b%c))%c。但C_mⁿ%c怎样求解？坐等高人指点迷津……