哈夫曼（huffman）树和哈夫曼编码

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哈夫曼树

哈夫曼树也叫最优二叉树（哈夫曼树）   

问题：什么是哈夫曼树？

例：将学生的百分制成绩转换为五分制成绩：≥90 分: A，80～89分: B，70～79分: C，60～69分: D，＜60分: E。

    if (a < 60){
        b = 'E';
    }
    else if (a < 70) {
        b = ‘D’;
    }
    else if (a<80) {
        b = ‘C’;
    }
    else if (a<90){
        b = ‘B’;
    }
    else {
      b = ‘A’;
    }

判别树：用于描述分类过程的二叉树。

如果每次输入量都很大，那么应该考虑程序运行的时间

如果学生的总成绩数据有10000条，则5％的数据需 1 次比较，15％的数据需 2 次比较，40％的数据需 3 次比较，40％的数据需 4 次比较，因此 10000 个数据比较的

次数为：  10000 (5％＋2×15％＋3×40％＋4×40％)＝31500次

此种形状的二叉树，需要的比较次数是：10000 (3×20％＋2×80％)＝22000次，显然：两种判别树的效率是不一样的。

问题：能不能找到一种效率最高的判别树呢? 

那就是哈夫曼树

回忆树的基本概念和术语

路径：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj，使得ki是ki+1的双亲，则称该结点序列是从k1到kj的一条路径。

路径长度：等于路径上的结点数减1。

结点的权：在许多应用中，常常将树中的结点赋予一个有意义的数，称为该结点的权。

结点的带权路径长度：是指该结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和，通常记作：

其中，n表示叶子结点的数目，wi和li分别表示叶子结点ki的权值和树根结点到叶子结点ki之间的路径长度。

赫夫曼树（哈夫曼树，huffman树）定义：

在权为w1,w2,…,wn的n个叶子结点的所有二叉树中，带权路径长度WPL最小的二叉树称为赫夫曼树或最优二叉树。

例：有4 个结点 a, b, c, d，权值分别为 7, 5, 2, 4，试构造以此 4 个结点为叶子结点的二叉树。

WPL=7´2+5´2+2´2+4´2= 36

WPL=7´3+5´3+2´1+4´2= 46

WPL=7´1+5´2+2´3+4´3= 35 

WPL=7´1+5´2+2´3+4´3= 35 

后两者其实就是最有二叉树（也就是哈夫曼树）

哈夫曼树的构造(哈夫曼算法)

1.根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.

2.在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.

3.在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

4.重复2、3,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

例：有4 个结点 a, b, c, d，权值分别为 7, 5, 2, 4，构造哈夫曼树。

根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.

在F中选取两棵根结点权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树,且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和.

在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

重复,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

关于哈夫曼树的注意点：

1、满二叉树不一定是哈夫曼树  

2、哈夫曼树中权越大的叶子离根越近  （很好理解，WPL最小的二叉树）

3、具有相同带权结点的哈夫曼树不惟一

4、哈夫曼树的结点的度数为 0 或 2， 没有度为 1 的结点。

5、包含 n 个叶子结点的哈夫曼树中共有 2n – 1 个结点。

6、包含 n 棵树的森林要经过 n–1 次合并才能形成哈夫曼树，共产生 n–1 个新结点

再看一个例子：如权值集合W={7,19,2,6,32,3,21,10 }构造赫夫曼树的过程。

根据给定的n个权值{w1,w2,…,wn}构成二叉树集合F={T1,T2,…,Tn},其中每棵二叉树Ti中只有一个带权为wi的根结点,其左右子树为空.

在F中选取两棵根结点权值最小的树

作为左右子树构造一棵新的二叉树，置新的二叉树的根结点的权值为左右子树根结点的权值之和

在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

重复,直到F只含有一棵树为止.(得到哈夫曼树)

 

在F中删除这两棵树,同时将新的二叉树加入F中.

构造完毕（哈夫曼树，最有二叉树），也就是最佳判定树

哈夫曼编码

哈夫曼树的应用很广，哈夫曼编码就是其在电讯通信中的应用之一。广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%～90%之间。在电讯通信业务中，通常用二进制编码来表示字母或其他字符，并用这样的编码来表示字符序列。 

例：如果需传送的电文为 ‘ABACCDA’，它只用到四种字符，用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D 的编码分别为 00, 01,10, 11，则上述电文便为 ‘00010010101100’（共 14 位），译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。

能否使编码总长度更短呢？

实际应用中各字符的出现频度不相同，用短（长）编码表示频率大（小）的字符，使得编码序列的总长度最小，使所需总空间量最少

数据的最小冗余编码问题

在上例中，若假设 A, B, C, D 的编码分别为 0，00，1，01，则电文 ‘ABACCDA’ 便为 ‘000011010’（共 9 位），但此编码存在多义性：可译为： ‘BBCCDA’、‘ABACCDA’、‘AAAACCACA’ 等。

译码的惟一性问题

要求任一字符的编码都不能是另一字符编码的前缀，这种编码称为前缀编码（其实是非前缀码）。 在编码过程要考虑两个问题，数据的最小冗余编码问题，译码的惟一性问题，利用最优二叉树可以很好地解决上述两个问题

用二叉树设计二进制前缀编码

以电文中的字符作为叶子结点构造二叉树。然后将二叉树中结点引向其左孩子的分支标 ‘0’，引向其右孩子的分支标 ‘1’； 每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的 0, 1 序列。如此得到的即为二进制前缀编码。

 

编码： A：0， C：10，B：110，D：111 

任意一个叶子结点都不可能在其它叶子结点的路径中。

用哈夫曼树设计总长最短的二进制前缀编码

假设各个字符在电文中出现的次数（或频率）为 wi ，其编码长度为 li，电文中只有 n 种字符，则电文编码总长为：

设计电文总长最短的编码，设计哈夫曼树（以 n 种字符出现的频率作权），

由哈夫曼树得到的二进制前缀编码称为哈夫曼编码   

例：如果需传送的电文为 ‘ABACCDA’，即：A, B, C, D 

的频率（即权值）分别为 0.43, 0.14, 0.29, 0.14，试构造哈夫曼编码。

编码： A：0， C：10，  B：110， D：111 。电文 ‘ABACCDA’ 便为 ‘0110010101110’（共 13 位）。

例：如果需传送的电文为 ‘ABCACCDAEAE’，即：A, B, C, D, E 的频率（即权值）分别为0.36, 0.1, 0.27, 0.1, 0.18，试构造哈夫曼编码。

编码： A：11，C：10，E：00，B：010，D：011 ，则电文 ‘ABCACCDAEAE’ 便为 ‘110101011101001111001100’（共 24 位，比 33 位短）。

译码

从哈夫曼树根开始，对待译码电文逐位取码。若编码是“0”，则向左走；若编码是“1”，则向右走，一旦到达叶子结点，则译出一个字符；再重新从根出发，直到电文结束。

电文为 “1101000” ，译文只能是“CAT”

哈夫曼编码算法的实现

由于哈夫曼树中没有度为1的结点，则一棵有n个叶子的哈夫曼树共有2×n-1个结点，可以用一个大小为2×n-1 的一维数组存放哈夫曼树的各个结点。 由于每个结点同时还包含其双亲信息和孩子结点的信息，所以构成一个静态三叉链表。

  1 //haffman 树的结构
  2 typedef struct
  3 {
  4     //叶子结点权值
  5     unsigned int weight;
  6     //指向双亲，和孩子结点的指针
  7     unsigned int parent;
  8     unsigned int lChild;
  9     unsigned int rChild;
 10 } Node, *HuffmanTree;
 11 
 12 //动态分配数组，存储哈夫曼编码
 13 typedef char *HuffmanCode;
 14 
 15 //选择两个parent为0，且weight最小的结点s1和s2的方法实现
 16 //n 为叶子结点的总数，s1和 s2两个指针参数指向要选取出来的两个权值最小的结点
 17 void select(HuffmanTree *huffmanTree, int n, int *s1, int *s2)
 18 {
 19     //标记 i
 20     int i = 0;
 21     //记录最小权值
 22     int min;
 23     //遍历全部结点，找出单节点
 24     for(i = 1; i <= n; i++)
 25     {
 26         //如果此结点的父亲没有，那么把结点号赋值给 min，跳出循环
 27         if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
 28         {
 29             min = i;
 30             break;
 31         }
 32     }
 33     //继续遍历全部结点，找出权值最小的单节点
 34     for(i = 1; i <= n; i++)
 35     {
 36         //如果此结点的父亲为空，则进入 if
 37         if((*huffmanTree)[i].parent == 0)
 38         {
 39             //如果此结点的权值比 min 结点的权值小，那么更新 min 结点，否则就是最开始的 min
 40             if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
 41             {
 42                min = i;
 43             }
 44         }
 45     }
 46     //找到了最小权值的结点，s1指向
 47     *s1 = min;
 48     //遍历全部结点
 49     for(i = 1; i <= n; i++)
 50     {
 51         //找出下一个单节点，且没有被 s1指向，那么i 赋值给 min，跳出循环
 52         if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
 53         {
 54             min = i;
 55             break;
 56         }
 57     }
 58     //继续遍历全部结点，找到权值最小的那一个
 59     for(i = 1; i <= n; i++)
 60     {
 61         if((*huffmanTree)[i].parent == 0 && i != (*s1))
 62         {
 63             //如果此结点的权值比 min 结点的权值小，那么更新 min 结点，否则就是最开始的 min
 64             if((*huffmanTree)[i].weight < (*huffmanTree)[min].weight)
 65             {
 66                min = i;
 67             }
 68         }
 69     }
 70     //s2指针指向第二个权值最小的叶子结点
 71     *s2 = min;
 72 }
 73 
 74 //创建哈夫曼树并求哈夫曼编码的算法如下，w数组存放已知的n个权值
 75 void createHuffmanTree(HuffmanTree *huffmanTree, int w[], int n)
 76 {
 77     //m 为哈夫曼树总共的结点数，n 为叶子结点数
 78     int m = 2 * n - 1;
 79     //s1 和 s2 为两个当前结点里，要选取的最小权值的结点
 80     int s1;
 81     int s2;
 82     //标记
 83     int i;
 84     // 创建哈夫曼树的结点所需的空间，m+1，代表其中包含一个头结点
 85     *huffmanTree = (HuffmanTree)malloc((m + 1) * sizeof(Node));
 86     //1--n号存放叶子结点，初始化叶子结点，结构数组来初始化每个叶子结点，初始的时候看做一个个单个结点的二叉树
 87     for(i = 1; i <= n; i++)
 88     {
 89        
 90         //其中叶子结点的权值是 w【n】数组来保存
 91         (*huffmanTree)[i].weight = w[i];
 92         //初始化叶子结点（单个结点二叉树）的孩子和双亲，单个结点，也就是没有孩子和双亲，==0
 93         (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
 94         (*huffmanTree)[i].parent = 0;
 95         (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
 96     }// end of for
 97     //非叶子结点的初始化
 98     for(i = n + 1; i <= m; i++)
 99     {
100         (*huffmanTree)[i].weight = 0;
101         (*huffmanTree)[i].lChild = 0;
102         (*huffmanTree)[i].parent = 0;
103         (*huffmanTree)[i].rChild = 0;
104     }
105     
106     printf("
 HuffmanTree: 
");
107     //创建非叶子结点，建哈夫曼树
108     for(i = n + 1; i <= m; i++)
109     {
110         //在(*huffmanTree)[1]~(*huffmanTree)[i-1]的范围内选择两个parent为0
111         //且weight最小的结点，其序号分别赋值给s1、s2
112         select(huffmanTree, i-1, &s1, &s2);
113         //选出的两个权值最小的叶子结点，组成一个新的二叉树，根为 i 结点
114         (*huffmanTree)[s1].parent = i;
115         (*huffmanTree)[s2].parent = i;
116         (*huffmanTree)[i].lChild = s1;
117         (*huffmanTree)[i].rChild = s2;
118         //新的结点 i 的权值
119         (*huffmanTree)[i].weight = (*huffmanTree)[s1].weight + (*huffmanTree)[s2].weight;
120         
121         printf("%d (%d, %d)
", (*huffmanTree)[i].weight, (*huffmanTree)[s1].weight, (*huffmanTree)[s2].weight);
122     }
123     
124     printf("
");
125 }
126 
127 //哈夫曼树建立完毕，从 n 个叶子结点到根，逆向求每个叶子结点对应的哈夫曼编码
128 void creatHuffmanCode(HuffmanTree *huffmanTree, HuffmanCode *huffmanCode, int n)
129 {
130     //指示biaoji
131     int i;
132     //编码的起始指针
133     int start;
134     //指向当前结点的父节点
135     int p;
136     //遍历 n 个叶子结点的指示标记 c
137     unsigned int c;
138     //分配n个编码的头指针
139     huffmanCode=(HuffmanCode *)malloc((n+1) * sizeof(char *));
140     //分配求当前编码的工作空间
141     char *cd = (char *)malloc(n * sizeof(char));
142     //从右向左逐位存放编码，首先存放编码结束符
143     cd[n-1] = '';
144     //求n个叶子结点对应的哈夫曼编码
145     for(i = 1; i <= n; i++)
146     {
147         //初始化编码起始指针
148         start = n - 1;
149         //从叶子到根结点求编码
150         for(c = i, p = (*huffmanTree)[i].parent; p != 0; c = p, p = (*huffmanTree)[p].parent)
151         {
152             if( (*huffmanTree)[p].lChild == c)
153             {
154                 //从右到左的顺序编码入数组内
155                  cd[--start] = '0';  //左分支标0
156             }
157             else
158             {
159                 cd[--start] = '1';  //右分支标1
160             }
161         }// end of for
162         //为第i个编码分配空间
163         huffmanCode[i] = (char *)malloc((n - start) * sizeof(char));
164         
165         strcpy(huffmanCode[i], &cd[start]);
166     }
167     
168     free(cd);
169     //打印编码序列
170     for(i = 1; i <= n; i++)
171     {
172          printf("HuffmanCode of %3d is %s
", (*huffmanTree)[i].weight, huffmanCode[i]);
173     }
174     
175     printf("
");
176 }
177 
178 int main(void)
179 {
180     HuffmanTree HT;
181     HuffmanCode HC;
182     int *w,i,n,wei,m;
183     
184     printf("
n = " );
185     
186     scanf("%d",&n);
187     
188     w=(int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
189     
190     printf("
input the %d element's weight:
",n);
191     
192     for(i=1; i<=n; i++)
193     {
194         printf("%d: ",i);
195         fflush(stdin);
196         scanf("%d",&wei);
197         w[i]=wei;
198     }
199     
200     createHuffmanTree(&HT, w, n);
201     creatHuffmanCode(&HT,&HC,n);
202     
203     return 0;
204 }

补充：树的计数

已知先序序列和中序序列可确定一棵唯一的二叉树；

已知后序序列和中序序列可确定一棵唯一的二叉树；

已知先序序列和后序序列不能确定一棵唯一的二叉树。