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矩阵导数
定义
- 函数 (f:mathbb{R}^n omathbb{R},) 它在点 (x in mathbb{R}^n)上的梯度定义为 (mathrm{grad}_x(f):=left[frac{partial f}{partial x_1},frac{partial f}{partial x_2},dotsfrac{partial f}{partial x_n}
ight]!igg
vert_x)(, 是)n(维行向量。以)(
abla f(x):=left(frac{partial f}{partial x_1},frac{partial f}{partial x_2},dots,frac{partial f}{partial x_n}
ight)!igg
vert_xinmathbb{R}^n) 表示列向量。
- 多值函数 (f:mathbb{R}^n omathbb{R}^m,) 它在点 (x in mathbb{R}^n)上的 Jacobian 矩阵定义为 (mathrm{Jac}_x(f)=left.egin{bmatrix}frac{partial f_1}{partial x_1}&frac{partial f_1}{partial x_2}&dots&frac{partial f_1}{partial x_n}\frac{partial f_2}{partial x_1}&frac{partial f_2}{partial x_2}&dots&frac{partial f_2}{partial x_n}\ vdots&vdots & & vdots\frac{partial f_m}{partial x_1}&frac{partial f_m}{partial x_2}&dots&frac{partial f_m}{partial x_n}\end{bmatrix}
ight|_x), 是(m imes n)的矩阵。
- 从微分的角度, 上述符号有一致性, ({
m d}f = mathrm{grad}_x(f) {
m d}x = langle
abla f, {
m d}x
angle), ({
m d}f = mathrm{Jac}_x(f) {
m d}x), 这里微分(mathrm{d}x)定义为列向量。
- 回顾Jacobian行列式,它用于多元积分中的换元公式 (dx\,dy\,dz = left|frac{partial (x,y,z)}{partial(u,v,w)}
ight|\,du\,dv\,dw).
资料
--- 她说, 她是仙,她不是神
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原文地址:https://www.cnblogs.com/bregman/p/14911976.html
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