MATLAB 求解最优化问题
MATLAB 优化工具箱解线性规划
模型1
命令:
模型2
命令:
注意:若没有不等式:
模型3
命令:[1]
注意:[1] 若没有等式约束:
命令:[x,fval]=linprog(…)
返回最优解x
及x
出的目标函数的值fval
求解优化问题的主要函数
1. MATLAB求解优化问题的主要函数
类型 | 模型 | 基本函数名 |
---|---|---|
一元函数极小 | ||
无约束极小 | ||
线性规划 | ||
二次规划 | ||
约束极小(非线性规划) | ||
达到目标问题 | ||
极小极大问题 |
2. 优化函数的输入变量
变量 | 描述 | 调用函数 |
---|---|---|
f | 线性规划的目标函数 |
linprog, quadprog |
fun | 非线性优化的目标函数。fun必须为行命令对象或M文件、嵌入函数或MEX文件的名称 | fminbnd, fminsearch,fminunc, fmincon, lsqcurvefit, lsqnonlin, fgoalattain, fminimax |
H | 二次规划的目标函数 |
quadprog |
A, b | A矩阵和b向量分别为线性不等式约束: |
linprog, quadprog, fgoalattain, fmincon, fminimax |
Aeq, beq | Aeq矩阵和beq向量分别为线性等式约束: |
linprog, quadprog, fgoalattain, fmincon, fminimax |
vlb, vub | X的下限和上限向量: |
linprog, quadprog, fgoalattain, fmincon, fminimax, lsqcurvefit, lsqnonlin |
X_0 | 迭代初始点坐标 | 除fminbnd外所有优化函数 |
函数最小化的区间 | fminbnd | |
options | 优化选项参数结构,定义用于优化函数的参数 | 所有优化函数 |
3. 优化函数的输出变量表
变量 | 描述 | 调用函数 |
---|---|---|
x | 由优化函数求得的值。若 |
所有优化函数 |
fval | 解x处的目标函数值 | linprog, quadprog, fgoalattain, fmincon, fminimax, lsqcurvefit, lsqnonlin, fminbnd |
exitflag | 描述退出条件: |
|
output | 包含优化结果信息的输出结构:Iterations:迭代次数;Algorithm:所采用的算法;FuncCount:函数评价次数 | 所有优化函数 |
4. 控制参数options
的设置
用MATLAB解无约束问题
1. 一元函数无约束优化问题
常用格式如下
x=fminbnd(fun,x1,x2);
x=fminbnd(fun,x1,x2,options);
[x,fval]=fminbnd(...);
[x,fval,exitflag]=fminbnd(...);
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(...);
%%其中3、4、5的等式右边可用1或2的等式右边
函数fminbnd
的算法基于黄金分割法和二次插值法,它要求目标函数必须是连续函数,并可能只给出局部最优解。
2. 多元函数无约束优化问题
标准型为:
命令格式为:
x=fminunc(fun,X0); %或x=fminsearch(fun,X0)
x=fminunc(fun,X0,options); %或x=fminsearch(fun,X0,options)
[x,fval]=fminunc(...); %或[x,fval]=fminsearch(...)
[x,fval,exitflag]=fminunc(...); %或[x,fval,exitflag]=fminsearch(...)
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(...); %或[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(...)
fminsearch
是用单纯性法寻优
fminunc
的算法:
fminunc
为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。
- 由
options
中的参数LargeScale
控制:LargeScale='on'
使用大型算法,LargeScale='off'
使用小型算法
- 由
fminunc
为中型优化算法的搜素方向提供了4种算法,由options
中的参数HessUpdate
控制
HessUpdate='bfgs'
(默认值),拟牛顿法的BFGS
公式HessUpdate='dfp'
,拟牛顿法的DFP
公式HessUpdate='steepdesc'
,最速下降法
fminunc
为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法,由options
中参数LineSearchType
控制:
LineSearchType='quadcubic'
(缺省值),混合的二次和三次多项式插值LineSearchType='cubicpoly'
,三次多项式插值
使用fminunc
和fminsearch
可能会得到局部最优解
用MATLAB解非线性规划
标准型为:
其中
X
为n
维变元向量,G(X)
与Ceq(X)
均为非线性函数组成的向量,其他变量的含义和线性规划、二次规划相同。MATLAB求解:
首先建立M文件
fun.m
,定义目标函数F(X)
function f=fun(X); f=F(X);
若约束条件中有非线性约束:
G(X)≤0 或Ceq(X)=0 ,则建立M文件nonlcon.m
定义函数G(X)
与Ceq(X)
:function [G,Ceq]=nonlcon(X); G=... Ceq=...
建立主程序,非线性规划求解的函数是
fmincon
,命令的基本格式如下:x=fmincom('fun',X0,A,b); x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq); x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,'nonlcon'); x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,'nonlcon',options); [x,fval]=fmincon(...); [x,fval,exitflag]=fmincon(...); [x,fval,exitflag,output]=fmincon(...);
fmincon
函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时,若在fun
函数中提供了梯度(options
参数的GradObj
设置为on
),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon
函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。
fmincon
函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题,并用BFGS
法更新拉格朗日Hessian
矩阵。
fmincon
函数可能会给出局部最优解,这与初值X0
的选取有关。