倒排列表求交集算法汇总

http://bbs.sjtu.edu.cn/bbstcon,board,Algorithm,reid,1225812893.html

我总结了一下，归纳如下：
1.1 SvS and Swapping SvS
Algorithm 1 Pseudo-code for SvS
SvS(set, k)
1: Sort the sets by size (|set[0]| ≤ |set[1]| ≤ . . . ≤ |set[k]|).
2: Let the smallest set s[0] be the candidate answer set.
3: for each set s[i], i = 1. . . k do initialize _[k] = 0.
4: for each set s[i], i = 1. . . k do
5:  for each element e in the candidate answer set do
6:    search for e in s[i] in the range l[i] to |s[i]|,
7:    and update l[i] to the last position probed in the previous step.
8:    if e was not found then
9:      remove e from candidate answer set,
10:      and advance e to the next element in the answer set.
11:    end if
12:  end for
13: end for
这是常用的一种算法，它首先是找出最短的两个集合，依次查找第一个集合里的元素是否
出现在第二个集合内部；Demaine考虑的Swapping_SvS和上述算法有稍微的不同，即是在每
次比较后，取包含更少元素的集合来与再下一个集合进行比较，这种算法在第一个集合和
第二个集合比较之后第二个集合反而更少的情况下效果更好，但实验表明这种情况并不多
见。

1.2 Small Adaptive
Algorithm 2 Pseudo-code for Small_Adaptive
Small_Adaptive(set, k)
1: while no set is empty do
2:   Sort the sets by increasing number of remaining elements.
3:   Pick an eliminator e = set[0][0] from the smallest set.
4:   elimset ← 1.
5:   repeat
6:     search for e in set[elimset].
7:     increment elimset;
8:   until s = k or e is not found in set[elimset]
9:   if s = k then
10:     add e to answer.
11:   end if
12: end while
这是一种混合算法，结合了Svs和Adaptive的优点。它的特点是对每个集合按未被检查过的
元素个数进行排序，从中挑出未被检查过的元素个数最少和次少的集合进行比较，找到公
有的一个元素后，再在其他集合中进行查找，有某个集合查找完毕即结束。

1.3 Sequential and Random Sequential
Algorithm 3 Pseudo-code for Sequential
Sequential(set, k)
1: Choose an eliminator e = set[0][0], in the set elimset ← 0.
2: Consider the first set, i ← 1.
3: while the eliminator e _= ∞do
4:   search in set[i] for e
5:   if the search found e then
6:     increase the occurrence counter.
7:   if the value of occurrence counter is k then output e end if
8:   end if
9:   if the value of the occurrence counter is k, or e was not found then
    /*若计数到k或者e没有被找到*/
10:     update the eliminator to e ← set[i][succ(e)]. 
    /*将e赋值为现在集合中下一个值*/
11:   end if
12:   Consider the next set in cyclic order i ← i + 1 mod k.
     /*循环移位地选择新的集合*/
13: end while
Barbay and Kenyon引入的，对不确定复杂度的样本查找比较好，每次在各个集合中的查找
是用快速查找。
RSequential与Sequential的区别是Sequential挑选循环中下一个集合作为下一个搜索集合
，而RSequential则是随机挑选一个集合。

1.4 Baeza-Yates and Baeza-Yates Sorted 
Algorithm 4 Pseudo-code for BaezaYates
BaezaYates(set, k)
1: Sort the sets by size (|set[0]| ≤ |set[1]| ≤ . . . ≤ |set[k]|).
2: Let the smallest set set[0] be the candidate answer set.
3: for each set set[i], i = 1. . . k do
4:   candidate ← BYintersect(candidate, set[i], 0, |candidate| − 1, 0,|set[i]| − 1)
5:   sort the candidate set.
6: end for

BYintersect(setA, setB, minA, maxA, minB, maxB)
1: if setA or setB are empty then return   endif.
2: Let m = (minA + maxA)/2 and let medianA be the element at setA[m].
3: Search for medianA in setB.
4: if medianA was found then
5:   add medianA to result.
6: end if
7: Let r be the insertion rank of medianA in setB.
8: Solve the intersection recursively on both sides of r and m in each set.
Baeza-Yates(巴伊赞-耶茨，他著有著名书籍《现代信息检索》)提出的方法，主要是利用
了分治思想，取出较短集合中的中间元素，在较长集合中搜索该元素，于是将较短和较长
集合均分为了2部分，在这2各部分中再递归搜索下去即可。注意：这样每次搜索完2个集合
，输出的交集是无序的，因此需要将此交集再排序后，再和第3个集合进行比较搜索。
Baeza-Yates Sorted是对上述方法进行了改进，即在保存公有的元素时是按序保存的，保
存整段中间元素时必须保证前半段搜索到的中部元素已经被保存了，这样处理可以节省最
后将搜索到的交集再次排序的时间，但代价是中间处理的时候需要增加处理的细节。

1.5 总结
上面所有的算法最坏情况下都有线性的时间复杂度。BaezaYates、So_BaezaYates, Small
_Adaptive和SvS在集合的大小不同时有显著优势，并且Small_Adaptive是惟一一个在算法
去除集合中元素导致集合的大小动态变化时，有更大的优势；Sequential and RSequenti
al 对集合大小不敏感。