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流形

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球面（球的表面）为二维的流形，由于它能够由一群二维的图形来表示。

流形（英语：Manifolds）是可以局部欧几里得空间化的一个拓扑空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。

流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。

一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如，当一个多项式在 {\displaystyle (0,1)} 区间的取值确定了，则其在整个实数范围的值都被固定，可见局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。

目录

• 1简介
• 2引例
  • 2.1圆
  • 2.2其他曲线
• 3定义
  • 3.1坐标卡
  • 3.2图册
  • 3.3坐标变换映射
  • 3.4附加结构
• 4构造
  • 4.1图册构造
    • 4.1.1带图册的球面
  • 4.2贴补
    • 4.2.1内在和外在的观点
    • 4.2.2作为贴补的n维球面
  • 4.3函数的零点
    • 4.3.1作为一个函数零点的n维球面
  • 4.4黏合一个流形上的不同点
  • 4.5直积
  • 4.6沿边界粘合
• 5拓扑流形
• 6微分流形
• 7可定向性
  • 7.1莫比乌斯带
  • 7.2克莱因瓶
  • 7.3实射影平面
• 8豪斯多夫假设
  • 8.1两个原点的线
• 9流形的其他类型和推广
• 10历史
• 11相关条目
• 12参考文献
  • 12.1注释
  • 12.2一般参考
• 13外部链接

简介[编辑]

 

理想化的地球是一个流形。越近看就越近似于平面（“大三角形”是曲边的，但右下角非常小的三角形就和平面上一样了）。

流形可以视为近看起来像欧几里得空间或其他相对简单的空间的物体^[1]:1。例如，人们曾经以为地球是平的。这是因为相对于地球来说人类实在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，尽管知道地球实际上差不多是一个圆球，如果只需要考虑其中微小的一部分上发生的事情，比如测量操场跑道的长度或进行房地产交易时，仍然把地面看成一个平面。一个理想的数学上的球面在足够小的区域上的特性就像一个平面，这表明它是一个流形^[2]:283。但是球面和平面的整体结构是完全不同的：如果在球面上沿一个固定方向走，最终会回到起点，而在一个平面上，可以一直走下去。

回到地球的例子。像旅行的时候，会用平面的地图来指示方位。如果将整个地球的各个地区的地图合订成一本地图集，那么在观看各个地区的地图后，就可以在脑海中“拼接”出整个地球的景貌。为了能让阅读者顺利从一张地图接到下一张，相邻的地图之间会有重叠的部分，以便在脑海里“粘合”两张图。类似地，在数学中，也可以用一系列“地图”（称为坐标图或坐标卡）组成的“地图集”（atlas, 亦称为图册）来描述一个流形^[2]:283。而“地图”之间重叠的部分在不同的地图里如何变换，则描述了不同“地图”的相互关系。

描述一个流形往往需要不止一个“地图”，因为一般来说流形并不是真正的欧几里得空间。举例来说，地球就没法用一张平面的地图来合适地描绘。

流形要求局部“看起来像”简单的空间，这不是一个简单的要求。例如，在球上吊一根线，这个整体就不是一个流形。包含了线和球连接的那一点的附近区域一定不是简单的：既不是线也不是面，无论这个区域有多小。

流形有很多种。最简单的是拓扑流形，它们局部看来像欧几里得空间。其他的种类包含了它们在使用中所需要的额外的结构。例如，一个微分流形不仅支持拓扑，而且要支持微积分。黎曼流形的思想导致了广义相对论的数学基础，使得人们能够用曲率来描述时空。

引例[编辑]

圆[编辑]

 

四张图分别把圆的一部分映射到一个开区间，它们合在一起覆盖了整个圆。

圆是除欧几里得空间外的拓扑流形的一个简单例子。考虑一个半径为1，圆心在原点的圆。若{\displaystyle x}和{\displaystyle y}是圆上的点的坐标，则有{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}。

局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部，{\displaystyle y}坐标大于零的部分（右图中黄色的部分），任何一点都可以用{\displaystyle x}坐标确定。投影映射：

{\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }:(x,y)\mapsto x\,}

把上半圆映射到开区间{\displaystyle (-1,1)}。反过来，给定一个{\displaystyle x}，{\displaystyle (x,{\sqrt {1-x^{2}}})}就是上半圆的一点：

{\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }^{(-1)}:x\mapsto (x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,}

这样的一个映射{\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}就是一个坐标卡（chart）。它的作用，就是告诉读者“地图”上的一点对应着实际中的哪一点。{\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}和它的逆映射都是连续函数甚至是光滑函数，这样的映射也叫做一个（微分）同胚^[1]:4。类似的，也可以为圆的下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）建立坐标卡。

{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\phi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\phi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}

这四个部分合起来覆盖了整个圆，这四个坐标卡就组成了该圆的一个图册（atlas）。

注意圆上部和右部的重叠部分，也就是位于圆上{\displaystyle x}和{\displaystyle y}坐标大于0的四分之一圆弧。两个坐标卡{\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}和{\displaystyle \phi _{\mathrm {right} }}都将这部分双射到区间{\displaystyle (0,1)}。这样就有一个从{\displaystyle (0,1)}到它自己的双射{\displaystyle T}：首先取{\displaystyle (0,1)}上面一点{\displaystyle a}（黄色线段右半部分的点）黄色坐标卡的逆映射到达圆上的对应点{\displaystyle (a,{\sqrt {1-a^{2}}})}，再通过绿色坐标卡映射到{\displaystyle (0,1)}上:

{\displaystyle T(a)=\phi _{\mathrm {right} }\left(\phi _{\mathrm {top} }^{(-1)}(a)\right)=\phi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)={\sqrt {1-a^{2}}}.}

映射{\displaystyle T}称为坐标变换映射（transition map），它告诉读者一张“地图”上的点是如何对应到另一张“地图”上的相应的点，说明了两张地图之间的关系^[1]:5。

 

圆流形基于斜率的坐标卡集，每个图覆盖除了一点之外的所有点。

上，下，左，右四个坐标卡表明圆是一个流形，但它们不是唯一可以描述圆形的图册。坐标卡除了可以是几何投影，也可以是别的映射，而坐标卡的数量也可以不是四个，只要能够覆盖整个圆就行了。考虑以下两个坐标卡

{\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={y \over {1+x}}} 和 {\displaystyle \displaystyle \phi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={y \over {1-x}}.}

这里{\displaystyle s}是过点{\displaystyle (x,y)}和固定点{\displaystyle (-1,0)}之直线的斜率。比如右图中，点{\displaystyle (-0.28,0.96)}和{\displaystyle (-1,0)}确定的直线（右图黄色直线）斜率是{\displaystyle 1{1 \over 3}}；点{\displaystyle (0.6,-0.8)}和{\displaystyle (-1,0)}确定的直线（右图红色直线）的斜率则是{\displaystyle -{1 \over 2}}。{\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }}可以把圆上面除了点{\displaystyle (-1,0)}以外的点一一映射到实数轴{\displaystyle (-\infty ,\infty )}上。{\displaystyle \phi _{\mathrm {plus} }}则是{\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }}关于{\displaystyle y}轴的镜像对称（也就是左右对称），固定点是{\displaystyle (+1,0)}。{\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }}的逆映射为

{\displaystyle x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad y={{2s} \over {1+s^{2}}};}

很容易确认{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}对于所有斜率值{\displaystyle s}成立。这两个坐标卡提供了圆的又一个图册，其变换映射为

{\displaystyle t={1 \over s}.}

注意每个坐标卡都缺了一点，对于{\displaystyle s}是点{\displaystyle (-1,0)}，对于{\displaystyle t}是点{\displaystyle (+1,0)}，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个圆。利用拓扑学的工具可以证明，没有单个的坐标卡可以覆盖整个圆；在这个简单的例子里，已经可以看到流形拥有多个坐标卡的灵活性^[1]:4。

其他曲线[编辑]

 

从代数曲线来的四个流形: ■ 圆, ■ 抛物线, ■ 双曲线, ■ 三次曲线.

流形不必连通（整个只有一片）；一对分离的圆可以是一个流形。它们不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限，这样抛物线也是一个流形。

定义[编辑]

拓扑流形的数学定义可以表述为^[3]：

设M是豪斯多夫空间，若对任意一点{\displaystyle x\in M}，都有x在M中的一个邻域U同胚于m维欧几里得空间{\displaystyle R^{m}}的一个开集，就称M是一个m维流形或 m维拓扑流形。