【HDOJ】4652 Dice

1. 题目描述
对于m面的骰子。有两种查询，查询0表示求最后n次摇骰子点数相同的期望；查询1表示最后n次摇骰子点数均不相同的期望。

2. 基本思路
由期望DP推导，求得最终表达式。
(1) 查询0
    不妨设$dp[k]$表示当前已经有k次相同而最终实现n次相同的期望。
    egin{align}
        dp[0] &= 1 + dp[1]  otag \
        dp[1] &= 1 + frac{1}{m}dp[2] + frac{m-1}{m}dp[1]  otag \
        dp[2] &= 1 + frac{1}{m}dp[3] + frac{m-1}{m}dp[1]  otag  \
              &cdots       otag \
        dp[n-1] &= 1 + frac{1}{m}dp[n] + frac{m-1}{m}dp[1] otag \
        dp[n] &= 0
    end{align}
    两两相减可得。
    egin{align}
        dp[0]-dp[1] &= frac{1}{m}(dp[1]-dp[2]) otag \
        dp[1]-dp[2] &= frac{1}{m}(dp[2]-dp[3]) otag \
        dp[2]-dp[3] &= frac{1}{m}(dp[3]-dp[4]) otag \
                    &cdots otag \
        dp[n-2]-dp[n-1] &= frac{1}{m}(dp[n-1]-dp[n])
    end{align}
    由$dp[0]=1+dp[1], dp[0]-dp[1]=1$代入可得。
    egin{align}
        dp[0]-dp[1] &= 1 otag \
        dp[1]-dp[2] &= m otag \
        dp[2]-dp[3] &= m^2 otag \
                    &cdots otag \
        dp[n-1]-dp[n] &= m^{n-1}
    end{align}
    显然是一个等比数列，累加后可得$dp[0]-dp[n]=dp[0]$.
    egin{align}   
        dp[0] = frac{m^n-1}{m-1}
    end{align}

（2）查询1
    不妨设$dp[k]$表示当前已经有k个不同而最终实现n个不同的期望。
    egin{align}
        dp[0] &= 1 + dp[1] otag \
        dp[1] &= 1 + frac{1}{m}dp[1] + frac{m-1}{m}dp[2] otag \
        dp[2] &= 1 + frac{1}{m}dp[1] + frac{1}{m}dp[2] + frac{m-2}{m}dp[3] otag \
                &cdots otag \
        dp[n-1] &= 1 + Sigma_{i=1}^{n-1}{frac{1}{m}dp[i]} + frac{m-(n-1)}{m}dp[n] otag \
        dp[n] &= 0
    end{align}
     两两相减可得。
    egin{align}
        dp[0]-dp[1] &= frac{m-1}{m}(dp[1]-dp[2]) otag \
        dp[1]-dp[2] &= frac{m-2}{m}(dp[2]-dp[3]) otag \
                    &cdots otag \
        dp[n-2]-dp[n-1] &= frac{m-(n-1)}{m}(dp[n-1]-dp[n])
    end{align}
    由$dp[0]=1+dp[1], dp[0]-dp[1]=1$代入累加后可得。
    egin{align}
        dp[0] = Sigma_{i=1}^{n} frac{m^i}{prod_{j=0}^{i-1}(m-j)}
    end{align}

3. 代码

/* 4652 */
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <vector>
#include <deque>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cctype>
#include <cassert>
#include <functional>
#include <iterator>
#include <iomanip>
using namespace std;
//#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,1024000")

#define sti                set<int>
#define stpii            set<pair<int, int> >
#define mpii            map<int,int>
#define vi                vector<int>
#define pii                pair<int,int>
#define vpii            vector<pair<int,int> >
#define rep(i, a, n)     for (int i=a;i<n;++i)
#define per(i, a, n)     for (int i=n-1;i>=a;--i)
#define clr                clear
#define pb                 push_back
#define mp                 make_pair
#define fir                first
#define sec                second
#define all(x)             (x).begin(),(x).end()
#define SZ(x)             ((int)(x).size())
#define lson            l, mid, rt<<1
#define rson            mid+1, r, rt<<1|1

#define LL __int64

int t;
int op, n, m;

LL Pow(LL base, int n) {
    LL ret = 1;
    
    while (n) {
        if (n & 1)
            ret *= base;
        n >>= 1;
        base *= base;
    }
    
    return ret;
}

void solve() {
    double ans = 0.0;
    
    if (op) {
        double tmp = 1.0;
        rep(i, 0, n) {
            tmp = tmp * m / (m-i);
            ans += tmp;
        }
    } else {
        LL fz = Pow(m, n) - 1;
        ans = fz / (m-1);
    }
    printf("%.9lf
", ans);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("data.in", "r", stdin);
        freopen("data.out", "w", stdout);
    #endif
    
    while (scanf("%d", &t)!=EOF) {
        while (t--) {
            scanf("%d%d%d", &op, &m, &n);
            solve();
        }
    }
    
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        printf("time = %d.
", (int)clock());
    #endif
    
    return 0;
}