洛谷 P1011 车站
链接
https://www.luogu.org/problem/P1011
题目
题目描述
火车从始发站（称为第1站）开出，在始发站上车的人数为a，然后到达第2站，在第22站有人上、下车，但上、下车的人数相同，因此在第2站开出时（即在到达第3站之前）车上的人数保持为a人。从第3站起（包括第3站）上、下车的人数有一定规律：上车的人数都是前两站上车人数之和，而下车人数等于上一站上车人数，一直到终点站的前一站（第n-1站），都满足此规律。现给出的条件是：共有N个车站，始发站上车的人数为a，最后一站下车的人数是m（全部下车）。试问x站开出时车上的人数是多少？
输入格式
a(≤20)，n(≤20)，m(≤2000)，和x(≤20)，
输出格式
从x站开出时车上的人数。
输入输出样例
输入 #1
5 7 32 4
输出 #1
13
图解
| 站序号(i) | 上车(f) | 下车(g) | 剩余人数(k) |
|---|---|---|---|
| 1 | a | 0 | a |
| 2 | t | t | a |
| 3 | a+t | t | 2a |
| 4 | a+2t | a+t | 2a+t |
| 5 | 2a+3t | a+2t | 3a+2t |
| 6 | 0 | 3a+2t | 0 |
思路
总结一下规律(中间几站)
1. 每一站下车人数等于上一站上车人数
2. 每一站上车人数等于前两站上车人数和
我们假设第6站就全部下车，可以得到图解中的表格，归纳总结可以发现
(s为斐波那契数列，直接可以计算)
1. g(i) = f(i-1)
2. f(i) = f(i-1) + f(i-2)
3. g(n) = f(n-1) + a - t = m
4. f(i) = s(i-2)*a + s(i-1)*t
5. k(i) = f(i) + f(1) - g(2)
之后我们就能发现，我们需要的k(x) = f(x) + a - t,推导后只需要两个等式
1. m - [s(n-3) + 1]*a = [s(n-2) - 1]*t
2. k(x) = [s(x-2) + 1]*a + [s(x-1) - 1]*t
给了我们m,a,n,我们由公式1算出t，公式2算出k(x)即可。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,n,m,x,t;
cin>>a>>n>>m>>x;
int s[n];
s[1]=1;
s[2]=1;
for(int i=3;i<=n;i++)
s[i]=s[i-1]+s[i-2];
t=(m-(s[n-3]+1)*a)/(s[n-2]-1);
cout<<(s[x-2]+1)*a+(s[x-1]-1)*t;
return 0;
}