斜率优化dp练习

1.HDU3507

裸题，有助于理解斜率优化的精髓。

dp[i]=min(dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])²)

很显然不是单调队列。

根据斜率优化的的定义，就是先设两个决策j,k

什么时候我们认为在 i 的环境下 j 比 k 好呢？根据上面的递推式，得到下面这么一个式子

dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])²<dp[k]+m+(sum[i]-sum[k])²

打开括号：

dp[j]+m+sum[i]²+sum[j]²-2*sum[i]*sum[j]<dp[k]+m+sum[i]²+sum[k]²-2*sum[i]*sum[k]

移项，将有 i 的项移到右侧：

dp[j]+sum[j]²-dp[k]-sum[k]²<2*sum[i]*(sum[j]-sum[k])

除下来：

(dp[j]+sum[j]²-dp[k]-sum[k]²)/[2*(sum[j]-sum[k])]<sum[i]

好了这就是斜率了^_^

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
int Q[1000000];
lnt sum[1000000];
lnt dp[1000000];
int h,t;
lnt n;
lnt m;
lnt X(int x)
{
    return dp[x]+sum[x]*sum[x];
}
lnt tp(int i,int j)
{
    return X(i)-X(j);
}
lnt btm(int i,int j)
{
    return 2*sum[i]-2*sum[j];
}
int main()
{
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
    {
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lld",&sum[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[i]+=sum[i-1];
        h=t=1;
        Q[1]=0;
        dp[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(h<t&&(tp(Q[h+1],Q[h])<=sum[i]*btm(Q[h+1],Q[h])))
                h++;
            dp[i]=dp[Q[h]]+m+(sum[i]-sum[Q[h]])*(sum[i]-sum[Q[h]]);
            while(h<t&&(tp(Q[t],Q[t-1])*btm(i,Q[t])>=tp(i,Q[t])*btm(Q[t],Q[t-1])))
                t--;
            Q[++t]=i;
        }
        printf("%lld
",dp[n]);
    }
    return 0;
}

 2.BZOJ1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

这道题依然斜率单调

dp方程自己推：

dp[i]=min(dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)²)

依然假设在 i 的环境下决策 j 优于 k 

那么：

dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)²<dp[k]+(i-k-1+sum[i]-sum[k]-L)²

将常数项与与 i 有关的项放到一起，展开：

(sum[j]+j)²-2*(i+sum[i]-L-1)*(sum[j]+j)+dp[j]<(sum[k]+k)²-2*(i+sum[i]-L-1)*(sum[k]+k)+dp[k]

设函数 f(x)=sum[x]+x , h(x)=x+sum[x]-L-1 , g(x)=dp[x]+f(x)²

得到当：

g(j)-g(k)<2*h(i)*(f(j)-f(k)) 时，j 比 k 优秀。

f(x)单调递增，斜率单调。

时间复杂度O(n)

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
lnt sum[1000000];
lnt dp[1000000];
int Q[1000000];
int h,t;
int n;
lnt L;
lnt f(int x)
{
    return (sum[x]+(lnt)(x));
}
lnt k(int x)
{
    return ((lnt)(x)+sum[x]-L-1);
}
lnt g(int x)
{
    return (dp[x]+f(x)*f(x));
}
lnt squ(lnt x)
{
    return x*x;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    Q[1]=0;
    dp[0]=0;
    h=t=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h<t&&g(Q[h+1])-g(Q[h])<2ll*k(i)*(f(Q[h+1])-f(Q[h])))
            h++;
        dp[i]=dp[Q[h]]+squ((lnt)(i-Q[h]-1)+sum[i]-sum[Q[h]]-L);
        while(h<t&&(((g(Q[t-1])-g(Q[t]))*(f(Q[t])-f(i)))>((g(Q[t])-g(i))*(f(Q[t-1])-f(Q[t])))))
            t--;
        Q[++t]=i;
    }
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}

 3.BZOJ1911: [Apio2010]特别行动队

斜率单调。

方程自己推：

设：g(x)=a*x²+b*x+c

dp[i]=max(dp[j]+g(sum[i]-sum[j]))

设在 i 环境下决策 j 优于 k

dp[j]+g(sum[i]-sum[j])>dp[k]+g(sum[i]-sum[k])

设f(x)=dp[x]+a*sum[x]²-b*sum[x]

则当：

f(j)-f(k)>2*a*sum[i]*(sum[j]-sum[k])

设 j > k 斜率单调

时间复杂度O(n)

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdio>
typedef long long lnt;
lnt sum[1000006];
lnt dp[1000006];
int Q[1000006];
int h,t;
int n;
lnt a,b,c;
lnt f(int x)
{
    return dp[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x];
}
lnt g(lnt x)
{
    return a*x*x+b*x+c;
}
int main(void)
{
    sum[0]=0;
    h=t=1;
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    Q[1]=0;
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(h<t&&(f(Q[h+1])-f(Q[h]))>2*a*sum[i]*(sum[Q[h+1]]-sum[Q[h]]))
            h++;
        dp[i]=dp[Q[h]]+g(sum[i]-sum[Q[h]]);
        while(h<t&&(f(Q[t])-f(Q[t-1]))*(sum[i]-sum[Q[t]])<=(f(i)-f(Q[t]))*(sum[Q[t]]-sum[Q[t-1]]))
            t--;
        Q[++t]=i;
    }
    printf("%lld
",dp[n]);
    return 0;
}

 4.BZOJ4518: [Sdoi2016]征途

这次变成二维的了。

都一样，展开方程+斜率优化。

这次要对于每一天进行O(n)转移，共m天，时间复杂度O(n*m)

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
lnt dp[4000][4000];
lnt sum[10000];
int Q[1000000];
lnt n,m;
lnt L;
int h,t;
lnt squ(lnt x)
{
    return x*x;
}
lnt f(int x,int i)
{
    return dp[x][i]+m*squ(sum[x])+2ll*L*sum[x];
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    L=sum[n];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dp[i][1]=m*squ(sum[i])-2ll*L*sum[i];
    }
    for(int d=2;d<=m;d++)
    {
        t=h=1;
        Q[1]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(h<t&&(f(Q[h+1],d-1)-f(Q[h],d-1))<2ll*m*sum[i]*(sum[Q[h+1]]-sum[Q[h]]))
                h++;
            dp[i][d]=dp[Q[h]][d-1]+m*squ(sum[i]-sum[Q[h]])-2ll*L*(sum[i]-sum[Q[h]]);
            while(h<t&&(f(Q[t],d-1)-f(Q[t-1],d-1))*(sum[i]-sum[Q[t]])>(f(i,d-1)-f(Q[t],d-1))*(sum[Q[t]]-sum[Q[t-1]]))
                t--;
            Q[++t]=i;
        }
    }
    printf("%lld
",dp[n][m]+squ(L));
    return 0;
}