【数学】证明题

真题

证明函数不等式

一定要时刻明白自己在证什么！！！

证明函数不等式常用的有以下五种方法：

• 利用函数单调性
• 利用拉格朗日中值定理
• 利用函数的最大最小值
• 利用泰勒公式
• 利用凹凸性（定义或性质）

利用单调性

利用拉格朗日中值定理

利用函数的最大最小值

利用泰勒公式

若在一个题目中涉及函数及其一阶、二阶（或高阶）导数，通常可以利用泰勒公式展开，在用泰勒展开时，既可以在给定点x0处展开，也可以在任意点x处展开。

• 在给定点x0处展开：（比较常用）
  [f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{{1}over{2!}}f''(x_0)(x-x_0)^2+...+{{f^{(n)}(ξ)}over{n!}}(x-x_0)^n]
• 在任意点x处展开：（在估计任意点的函数值或一阶、二阶导数值时可用）
  [f(x_0)=f(x)+f'(x)(x_0-x)+{{1}over{2!}}f''(x)(x_0-x)^2+...+{{f^{(n)}(ξ)}over{n!}}(x_0-x)^n]

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• 例题：

  证明：在闭区间[0,2]上，若|f(x)|≤1,|f''(x)|≤1,则|f'(x)|≤2.

f(0)=f(x)+...
f(2)=f(x)+...
相减，得
2f'(x)=...
∴|2f'(x)|≤|f(2)|+...+...+...（三角不等式|a±b|≤|a|+|b|，所有符号都是+号）
≤4
∴|f'(x)|≤2

利用凹凸性（定义或性质）

方程根的存在性与个数

方程根的问题通常是两个基本问题：

• 根的存在性问题：
  • 利用连续函数的零点定理
    若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根；
  • 利用罗尔定理（导函数的零点定理）
    若F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，且F'[x]=f(x),x∈(a,b)，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。
• 根的个数：
  • 利用函数的单调性：
    若f(x)在(a,b)内单调（可通过f'(x)>0或f'(x)<0判定），则方程f(x)=0在(a,b)内最多一个实根。
  • 利用罗尔定理的推论：
    若在区间I上(f^{(n)}(x)≠0)，则方程f(x)=0在(a,b)内至多n个实根。

微分中值定理有关的证明题

注意：使用定理标准格式：由。。可知，存在。。，使。。
A是B的充分条件（必要）：A→B（B→A）

微分中值定理证明题通常主要是三类问题：

• 证明存在一个点ξ，使(F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0)：
  • 这类问题一般是构造辅助函数用罗尔定理
  • 或用拉格朗日中值定理
  • 常见的辅助函数有：

  要证明的结论-----------	可考虑的辅助函数
  (ξf'(ξ)+f(ξ)=0)	(xf(x))
  (ξf'(ξ)+nf(ξ)=0)	(x^nf(x))
  (ξf'(ξ)-f(ξ)=0)	({f(x)} over {x})
  (ξf'(ξ)-nf(ξ)=0)	({f(x)} over {x^n})
  (f'(ξ)+λf(ξ)=0)	(e^{λx}f(x))
  (f'(ξ)+f(ξ)=0)	(e^xf(x))
  (f'(ξ)-f(ξ)=0)	(e^{-x}f(x))

  • 构造辅助函数的方法：（微分方程法）（F[]=0两边积分得G(x)=C）

    目的：寻找一个辅助函数G(x)，使G'(x)=F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]或者G'(x)={F[ξ,f(ξ),f'(ξ)]}g(x)；这样就可使得G'(x)的零点与F[]的零点一致。

    1. 将F[]=0式中的f'(x)化为({df(x)}over{dx})，代入F[]=0的式中，一般按可分离变量的微分方程处理。（用其他处理方法也行（如线性方程），只要能求解这个微分方程F[]=0）

    2. 得出（一个新的函数。。就是辅助函数G(x)）=C，显而易见，这个函数的导数为0，且其与F[]的零点一致。

       其本质就是：F[]=0两边积分，化为了辅助函数G(x)=C，所以G'(x)就是F[]，它们的零点一致，使用罗尔定理（导函数的零点定理）便可求解。

• 证明存在两个点ξ,η（双中值），使(F(ξ,f(ξ),f'(ξ),η,f(η),f'(η))=0)（一阶），可分为两种问题
  • 不要求ξ≠η：
    这种问题通常是在同一区间[a,b]上用两次微分中值定理（即 拉格朗日中值定理或推广（如柯西中值定理）），一般是用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，具体如何用要将要证结论中含有ξ的项和含有η的项分离开，然后再确定。
  • 要求ξ≠η：
    这种问题不能再同一区间[a,b]上用两次中值定理，因为无法证明ξ≠η.通常要将原区间[a,b]分成两个区间[a,c]和[c,b]，然后在[a,c]和[c,b]上分别用拉格朗日中值定理。这里分点c的选取是关键（一般中题目有提示，注意观察）
• 有关泰勒中值定理的证明题：
  一般说来，当题设条件或要证的结论中出现二阶或二阶以上导数往往要用泰勒中值定理。

泰勒中值定理

设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,f'(0)=0，证明：在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ，使f'''(ξ)=3.

证：由于f(x)三阶可导，可考虑泰勒公式。
∵f'(0)=0，应在x=0处展开
[f(x)=f(0)+f'(0)x+{{1}over{2!}}f''(0)x^2+{{1}over{3!}}f'''(ξ)x^3]，ξ在0与x之间
在上式中分别取x=1和x=-1
1=f(1)=f(0)+...
0=f(-1)=f(0)+...
两式相减得，f'''(ξ1)+f'''(ξ2)=6，即(f'''(ξ1)+f'''(ξ2))/2=3
由于f'''(x)连续，则f'''(x)在闭区间[ξ1,ξ2]上有最大值M和最小值m
m≤(f'''(ξ1)+f'''(ξ2))/2≤M
由连续函数介值定理知，存在ξ∈[ξ1,ξ2]⊆(-1,1)，使f'''(ξ)=(f'''(ξ1)+f'''(ξ2))/2=3

与定积分有关的证明题

有关定积分的证明题，常见是两类问题，证明与定积分有关的等式或不等式，在证明中常用的结论是积分不等式性质和积分中值定理。

• 证明积分等式的常用方法：
  • 换元法；
  • 分部积分法，特别是被积函数中出现f(x)的导数时；
  • 利用积分中值定理。
• 证明积分不等式的常用方法：
  • 利用积分不等的性质；
  • 利用积分中值定理；
  • 将积分上限换为x，转化为证明函数不等式。再将函数不等式化为零点问题证明

定积分不等式

定积分不等式：即 两个常数之间的比较，常数之间的不等式，不好求解，所以化为我们熟悉的函数不等式（一般换上限）进行求解。

将积分上限换为x，转化为证明函数不等式

设f(x)在[a,b]上连续且单调增加，证明(int_{a}^{b}xf(x) ext{d}t≥{{a+b}over{2}}int_a^bf(x) ext{d}t)

• 将式中的上限b换为x。
  令F(x)=(int_{a}^{x}xf(x) ext{d}t-{{a+x}over{2}}int_a^xf(x) ext{d}t)
  F'(x)=。。。=({{x-a}over{2}}f(x)-{{x-a}over{2}}f(ξ))(a≤ξ≤x)（其中要用到积分中值定理）
  ∵f(x)↑
  ∴F'(x)≥0
  ∴x≥a时，F(x)≥0，F(b)≥0
  ∴(int_{a}^{b}xf(x) ext{d}t≥{{a+b}over{2}}int_a^bf(x) ext{d}t)

向量组的线性相关和线性无关

用定义法

适用于绝大多数情况

用秩

适用于在α线性无关的条件下，β是α的式子。

已知n维向量α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2+α3，β2=α1+2α2+4α3，β3=α1+3α2+9α3.证明β1，β2，β3线性无关。

• 用秩：
  [β1,β2,β3]=[α1+α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3]=[α1,α2,α3][111,123,149]
  因矩阵[111,123,149]可逆，又α线性无关，r(α)=3
  ∴r(β)=3
  ∴β线性无关

• 用定义：
  设k1β1+k2β2+k3β3=0
  即 k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+4α3)+k3(α1+3α2+9α3)=0
  即 (k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+3k3)α2+(k1+4k2+9k3)α3=0
  ∵α线性无关
  ∴k1+k2+k3=0; k1+2k2+3k3=0; k1+4k2+9k3=0;
  |111,123,149|≠0，齐次方程组只有零解
  ∴k1=0,k2=0,k3=0，因此β线性无关

单调有界准则

单调有界准则用来解决递推关系x1=a和xn+1=f(xn)定义的数列，证明极限存在，收敛等。

步骤

• 由数列{xn}的通项确定递推关系式：xn+1=f(xn)
• 利用递推关系式证明该数列单调增加（或减少）有上界（或有下界）
• 设lim xn=A，在递推关系式两边取极限得到关于未知数A的方程A=f(A)
• 解出方程A的值
• 可先求出数列的极限值，再用数列极限的{xn-A}证明该值即为xn的极限。

证明方法

• 一般关于单调性和有界性可以尝试利用数学归纳法来证明（但此方法要有目的性的去证明，而不是一步一步的推出一个原先没有想好的结果）（注意：如果没有递推关系，那就自己证明，或者用上一小题的结论证明；数学归纳法对此无效）

  证明数列{xn}有下界0：
  由已知x1>0，
  设xn>0，
  则只需证xn+1>0。（利用xn>0可以证明xn+1>0）
  注意：由此可见使用数学归纳法需要一定的目的性，若一开始没有证明下界为0的目标，此方法就完全用不出来了。

• 判定数列单调性主要有三种方法：（首先试试这招，因为过程少一些，束手无策再用数学归纳法）
  • 相减
  • 相除
  • 求导：
    • 若f(x)↑：
      x1≤x2，单调增；
      x1≥x2，单调减。
    • 若f(x)↓：则{xn}不单调

• 有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时调整证明次序（证明单调性时需用有界性，从而必先证明数列有界；或证明有界性时需用单调性，从而必先证明数列的单调性）

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等式问题→零点问题

证明存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=f(ξ+(b-a)/2).

证：令F(x)=f(x)-f(x+(b-a)/2),x∈[a,b]，则。。。（零点问题）

• 零点定理
• 罗尔定理

不等式问题→零点问题

证明：当x>0时，(x^2-1)lnx≥(x-1)^2，且仅当x=1时等号成立。

证：令(f(x)=(x^2-1)lnx-(x-1)^2),x>0，则需证明f(x)的最小值点=0（零点问题）

• 判断单调性求解极值点，证明其极值点唯一，则为最值点
  f'(x)=。。。
  可知f'(1)=0（但不知是否有其他驻点，所以无法判断最值，还需继续判断f(x)的单调性）
  f''(x)=。。。
  f''(1)=2>0
  ∴f(1)为极小值（但不知是否有其他的极值点）
  f'''(x)=。。。
  0~1,f'''<0
  1~+∞,f'''>0
  ∴f''(x)在x=1处取得极小值
  f''(x)≥2
  凹，极值点唯一，为最值点

  注意：唯一极值点必是最值点。

• 极值点判断标准：
  • 左右导数反号

  • 导数的导数<(>)0

    极值点说明标准：f(x)在x=?处取得极值

被积函数中含有绝对值和双变量

设f(x)是正值连续偶函数，令g(x)=(int_{-a}^a|x-t|f(t)dt)，|x|≤a，a>0.
①证明g'(x)在区间[-a,a]上单调增加。
②求函数g(x)在[-a,a]上的最小值点。

• 将绝对值化为分段函数，再分开讨论
  证：①
  (|x-t|=egin{cases} {x-t}& ext{x-t>0,即t<x}\ {t-x}& ext{x-t<0,即t>x} end{cases})
  故，(g(x)=int_{-a}^x(x-t)f(t)dt+int_{x}^{a}(t-x)f(t)dt)
  g'(x)=。。
  g''(x)=。。

②
g'(x)=。。
∴g'(0)=。。
。。。
∴g'(0)=0
g''(x)>0
∴g(x)在x=0处取得唯一极小值，且为最小值

298.12
311.4
329.4
293.5
291.4
278.7
290.3

112.32
134.65
58.2
140.72
137.68

135

不等式的证明

通过做辅助函数并利用辅助函数的单调性来证明不等式的方法适用于相当广泛的一类问题，证明不等式f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立（或不等式f(x)≥g(x)在区间[a,b]上成立）的一般程序是：

• 第一步，引入辅助函数F(x)=f(x)-g(x)，从而原不等式归结为F(x)在(a,b)内为正（或F(x)在[a,b]上非负）的问题

• 第二步，求导数F'(x)，并确定F'(x)在所考虑区间上的符号，从而确定F(x)在该区间上的单调性（或最小值），由此判定F(x)的符号。

  注意：若不能直接确定F'(x)的符号，还可继续求F''(x)；或从F'(x)中分离出无法直接确定符号那一部分函数，再用它的导数来确定其符号，如此继续下去，知道能够确定F'(x)的符号为止。

P28